Aloha :)$$f(x)=xe^{-x^2}$$$$f'(x)=e^{-x^2}+x\cdot e^{-x^2}\cdot(-2x)=e^{-x^2}(1-2x^2)$$
zu a) Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, wird das Vorzeichen der ersten Ableitung allein durch den Term in der Klammer bestimmt:$$f'(x)\text{ ist }\left\{\begin{array}{cll}>0 & \text{für }1-2x^2>0 &\text{d.h. }-\frac{1}{\sqrt2}<x<\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]=0 & \text{für }1-2x^2=0 & \text{d.h. }x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]<0 & \text{für }1-2x^2<0 & \text{d.h. }x<-\frac{1}{\sqrt2}\;\lor\;x>\frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right.$$
Für \(x<-\frac{1}{\sqrt2}\) ist \(f(x)\) streng monoton fallend.
Für \(-\frac{1}{\sqrt2}<x<\frac{1}{\sqrt2}\) ist \(f(x)\) streng monoton wachsend.
Für \(x>\frac{1}{\sqrt2}\) ist \(f(x)\) streng monoton fallend.
zu b) Wegen der genannten Monotonie liegt bei \(x=-\frac{1}{\sqrt2}\) ein lokales Minimum vor (Funktion fällt davor ab und steigt danach wieder an). An der Stelle \(x=\frac{1}{\sqrt2}\) liegt ein lokales Maximum vor (Funktion wächst davor an und fällt danach wieder ab).
Weitere Extrema sind nicht vorhanden, weil das Verschwinden der ersten Ableitung als notwendige Voraussetzung für keine weiteren Punkte erfüllt ist.
~plot~ x*e^(-x^2) ; [[-3|3|-0,5|0,5]] ~plot~