Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die lokalen Extrema von f .

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f(x)=x e^{-x^{2}} \)
(a) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die lokalen Extrema von \( f \).
(b) Gibt es Stellen, an denen \( f \) ein absolutes Minimum bzw. Maximum besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

a) ist einfach, f'(x) = 0 und die Nullen einsetzen und testen > oder < 0, dann haben wir (sqrt(2)/2, 0.4) und (-sqrt(2)/-2, 0.4)

b) es gibt keine anderen Extrema, aber wie soll ich das begründen?

Comments

Was soll das heißen, "die Nullen einsetzen"?

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=xe^{-x^2}$$$$f'(x)=e^{-x^2}+x\cdot e^{-x^2}\cdot(-2x)=e^{-x^2}(1-2x^2)$$

zu a) Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, wird das Vorzeichen der ersten Ableitung allein durch den Term in der Klammer bestimmt:$$f'(x)\text{ ist }\left\{\begin{array}{cll}>0 & \text{für }1-2x^2>0 &\text{d.h. }-\frac{1}{\sqrt2}<x<\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]=0 & \text{für }1-2x^2=0 & \text{d.h. }x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]<0 & \text{für }1-2x^2<0 & \text{d.h. }x<-\frac{1}{\sqrt2}\;\lor\;x>\frac{1}{\sqrt2}\end{array}\right.$$

Für \(x<-\frac{1}{\sqrt2}\) ist \(f(x)\) streng monoton fallend.

Für \(-\frac{1}{\sqrt2}<x<\frac{1}{\sqrt2}\) ist \(f(x)\) streng monoton wachsend.

Für \(x>\frac{1}{\sqrt2}\) ist \(f(x)\) streng monoton fallend.

zu b) Wegen der genannten Monotonie liegt bei \(x=-\frac{1}{\sqrt2}\) ein lokales Minimum vor (Funktion fällt davor ab und steigt danach wieder an). An der Stelle \(x=\frac{1}{\sqrt2}\) liegt ein lokales Maximum vor (Funktion wächst davor an und fällt danach wieder ab).

Weitere Extrema sind nicht vorhanden, weil das Verschwinden der ersten Ableitung als notwendige Voraussetzung für keine weiteren Punkte erfüllt ist.

~plot~ x*e^(-x^2) ; [[-3|3|-0,5|0,5]] ~plot~

Comments

Eigentlich ging es doch wohl um diese Frage:

(b) Gibt es Stellen, an denen \( f \) ein absolutes Minimum bzw. Maximum besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Alles andere wusste der Frager bereits.

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In Teil (b) soll das Ergebnis der Analyse des Monotonie-Verhaltens aus Teil (a) verwendet werden. Um dem Fragensteller das klar zu machen, habe ich das entsprechend erläutert.

Answer 2

(b) Gibt es Stellen, an denen \( f \) ein absolutes Minimum bzw. Maximum besitzt?

\( f(x)=x *e^{-x^{2}}=\frac{x}{e^{x^2}} \)

Mit der Regel von l´Hospital:

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x^2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x^2}*2x}=0 \)

\( \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x}{e^{x^2}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{e^{x^2}*2x}=0 \)

Somit gibt es kein absolutes Minimum bzw. Maximum.

Comments

Mit der Regel von l´Hospital: $$ \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x}{e^{x^2}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{e^{x^2}*2x}=0 $$

Was?

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x=	0	-1	-2	-3
\( \frac{x}{e^{x^2}}= \)	0	\( ≈-0,36\)	\( ≈-0,036\)	\( ≈-0,0004\)

Der Grenzwert ist somit 0.

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Somit gibt es kein absolutes Minimum bzw. Maximum.

Könntest du das etwas näher erläutern?

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Die Funktion nimmt keinen größeren Wert als das lokale Maximum und keinen kleineren Wert als das lokale Minimum an.

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Das würde aber doch die Existenz eines absoluten Maximums, bzw. Minimums eher bestätigen, oder nicht?

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Das würde aber doch die Existenz eines absoluten Maximums, bzw. Minimums eher bestätigen, oder nicht?

Das sehe ich nicht so:

Es sei \(f(x)=0,2x^3+x^2+0,3x-3\) im Intervall \(-6≤x≤2\). Dort ist das absolute Minimum an der Stelle \(x=-6\), das lokale Maximum an der Stelle \(x=-3,18\), das lokale Minimum an der Stelle \(x=-0,16\) und das absolute Maximum an der Stelle \( x=2\)

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Das ist wohl eine sehr eigenartige Begründung dafür, dass die fragliche Funktion kein absolutes Maximum haben kann. Tatsächlich gibt es ein lokales Maximum, welches auch das absolute ist.

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Bei der Aufgabe des FS habe ich das lokale Maximum bzw. Minimum als die Extremwerte mit waagerechter Tangente gesehen. Insofern sind keine weiteren Extremwerte (absolute, globale Maxima oder Minima) da. Dass globale Extremwerte auch die lokalen Extremwerte mit umfassen, war mir bisher nicht geläufig.

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Dass globale Extremwerte auch die lokalen Extremwerte mit umfassen, war mir bisher nicht geläufig.

Das ist ja auch nicht richtig. Vielmehr ist es doch so: Jedes globale Extremum ist immer auch ein lokales Extremum, umgekehrt gilt das im allgemeinen aber nicht.

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Danke dir für deine Erläuterung.