Bestimmen Sie die Spiegelungsmatrix mit Hilfe geeigneter Basistransformationen

Question

Eine Aufgabe zu der Spiegelungsmatrix:

Vektoren:

$$ b_1 = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \qquad b_2 = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) \qquad b_3 = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) $$

Spiegelungsmatrix: S

Die Matrix spiegelt an der durch b_1,b₃ aufgespannten Ebene.

a) Erzeugen Sie aus den Vektoren b₁,b₂,b₃ ein Orthonormalsystem k₁,k₂,k₃ . Dabei soll k₁ die gleiche Richtung haben wie b₁ und die durch k₁,k₃ und b₁,b₃ aufgespannten Ebenen sollen identisch sein.

b) Bestimmen Sie die Spiegelungsmatrix S in der Standardbasis e₁, e₂, e₃ mit Hilfe geeigneter Basistransformationen.

Meine Ideen : Wie man ein Orthonormalsystem erzeugt weiß ich (othogonal stellen, vektoren normieren). Mir geht es mehr darum zu erfahren, wie man dabei die Richtung der Vektoren beibehält...

Spiegelungsmatrix hat glaube ich diese Form:

\( \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \)
(Spiegelung an der x-Achse in diesem Fall)

Hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Orthogonalisieren kannst du z.b. mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren.

Der einzige Vektor, der dabei komplanar mit seine Urbild und dem ersten Vektor bleibt, ist dabei der erste, auf den das Verfahren angewandt wird, also muss man b₁ als erste Richtung festlegen und dann erst b₃ orthonormieren.

 

Das Schmidtsche Verfahren lautet:
a_i= b_i - Σ_j<i <b_i, a_j>a_j/<a_j,a_j>

Die daraus folgenden Vektoren sind bereits orthogonal, normiert werden kann dann gemäß:

k_i=a_i/||a_i||

Zunächst folgt:

 

a₁=(1,0,1)

a₃=(2,0,1)-<(2,0,1),(1,0,1)>*(1,0,1)/<(1,0,1),(1,0,1)> = (2,0,1) - 3/2 * (1,0,1) = (0.5, 0, -0,5)

Wähle der Einfachheit halber (normiert wird sowieso erst später a₃=(1,0,-1)

a₂=(1, -1, 1) - <(1,-1,1),(1,0,1)>*(1,0,1)/<(1,0,1),(1,0,1)> - <(1,-1,1), (1,0,-1)>*(1, 0, -1)/<(1,0,-1),(1,0,-1)>
= (1,-1,1) - 2*(1,0,1)/2 - 0*(1,0,-1)/2 = (0,-1,0)

 

Normierung:

k₁=1/sqrt(2) * ( 1,0,1)
k₂=(0,-1,0)

k₃=1/sqrt(2)*(1,0,-1)

In dieser Basis gilt für die Spiegelung an der Ebene, dass k₁ und k₃ unverändert bleiben, aber k₂ in -k₂ übergeht, die Spiegelung hat in dieser Basis also die Matrix P', siehe unten.

Die Matrix, die den Basisübergang von der Einheitsbasis e zur Basis k beschreibt, ist M, was sich leicht prüfen lässt, indem man M nacheinander mit den Einheitsvektoren e₁, e₂, e₃ multipliziert.
 

Eine Matrix transformiert sich bei Basisübergang dann gemäßt P=M^tP'M

M^t ist hier das gleiche wie M, das Produkt lässt sich leicht ausrechnen, es folgt (für diesen Spezialfall)

P=P'