Invertierbare lineare Abbildungen: Spiegelungsmatrix invertiertbar und Projektionsmatrix nicht.

Question

Mir ist nicht ganz klar, warum eine Spiegelungsmatrix invertierbar ist, eine Projektionsmatrix allerdings nicht.

Hängt das mit der Determinante zusammen? Bei der Projektion ist die Determinante 0, weil das Körpervolumen durch die Transformation in Form einer Projektion auf eine Ebene oder Gerade zu 0 wird und bei der Spiegelung bleibt das Körpervolumen unverändert, das heißt die Determinante ist ungleich 0, sondern 1 bzw. -1?

:)

Answer 1

warum eine Spiegelungsmatrix invertierbar ist, eine Projektionsmatrix allerdings nicht.

Deine Argumentation mit der Determinante stimmt so. Sobald die Determinante 0 ist, ist die Abbildung nicht umkehrbar und daher die Matrix nicht invertierbar.

Bei einer Projektion landen alle Punkte einer Geraden auf einem einzigen Punkt. Daher habe die Elemente der Bildmenge kein eindeutiges Urbild. Da kann es auch keine inverse Matrix geben, mit der man die Urbilder eindeutig berechnen kann.