Lineare Algebra- Projektionsmatrix

Question

Habe hier eine Aufgabe aus der alten Klausur die ich nicht verstehe:

Ebene: r=t₁ * a₁ + t₂ * a₂ mit a₁ = ⟨ 1,0,1⟩ , a₂ = ⟨2,0,1⟩  Projektionsmatrix: P

Die Matrix projiziert auf die durch a₁ a₂ aufgespannte Ebene.

a) Ermittlen Sie mit Hilfe eines linearen Gelichungssystems alle Vektoren, die senkrecht auf der Ebene stehen. Das Gleichungssystem ist mit dem Gauß zu lösen. Stellen Sie die Lösungsmenge so dar, dass die geometrische Form erkennbar ist.

b) Bestimmen Sie die Projektionsmatrix P in der Standardbasis e1, e2,e3 mit Hilfe der Pseudoinversen.

Hier ein paar Gedanken:

Die Projektionsmatrix kann man glaube ich mit der Formel : U*U⁺ bestimmen.

Also 2 Vektoren zu einer Matrix zusammenfassen und mal die transponierte nehmen, dann mit Gauß die invertierte Matrix U bekommen und wieder mit der U^t multiplizieren.

Answer 1

a) Das zu lösende Gleichungssystem ergibt sich aus der Forderung, dass die gesuchten Vektoren senkrecht auf beide Aufspannenden stehen müssen, im Skalarprodukt also 0 ergeben.

Fasst man a₁ und a₂ als Zeilenvektoren zu einer Matrix A zusammen, ergibt sich das lineare Gleichungsystem

A*x = 0

Führe jetzt den Gaußalgorithmus an A durch:

$$ \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 2 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$

Übersetzt man das zurück, so folgen daraus die beiden Gleichungen

x=0 und z=0. Die Lösungsmenge ist also die Menge aller Vektoren, bei denen nur die y-Komponente von 0 verschieden ist.

L = {v=(x,y,z)∈R³: v=k*(0,1,0), k∈R}

b) Von Projektionsmatrizen hab ich leider keine Ahnung. Allerdings ist die Ebene die xz-Ebene des Koordinatensystems, aus rein logischer Überlegung kann man also schlussfolgern, dass bei der Projektion auf diese Ebene lediglich die y-Komponente wegfällt, während x- und z-Komponenten identisch erhalten bleiben. Die Projektionsmatrix lautet dann:

$$ P = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$

Da ich aber wie gesagt nicht so genau weiß, wie das funktioniert (Wikipedia ist auch nur bedingt hilfreich), kann es sein, dass das falsch ist. Ich vermute vor allem, dass da möglicherweise noch eine Streckung oder Stauchung stattfindet.

Comments

Ich habs nochmal ausgerechnet so wie du gesagt hast, die Matrix stimmt tatsächlich.

 

Folgendes hab ich gemacht:
1.) Matrix A aufgestellt, die die beiden Vektoren a₁ und a₂ als Zeilenvektoren hat.

2.) A^t*A berechnet, das ist eine (2x2)-Matrix, nenne sie U.

3.) U invertiert.

4.) A^t*U^-1*A berechnet, das Ergebnis ist das P, das oben steht.

 

Wie gesagt, ich kann keinen der Schritte erklären, weil ich selber nicht weiß, wie das funktioniert. Ich habe im Prinzip nur glücklich geraten, ausgehend von deinem Ansatz.

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Ich wollte fragen, warum a1 und a2 als Zeilevektoren zusammengefasst werden ?

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Das macht man nur, um das Gleichungssystem als Produkt aus Matrix und Vektor schreiben zu können.

An sich ergibt sich aus der Forderung, dass a₁ und a₂ senkrecht auf x stehen, das Gleichungssystem:

 

1*x+0*y+1*z = 0

2*x+0*y+1*z = 0

 

Aus dem man jetzt die Koeffizientenmatrix A extrahieren kann, die sich ebenso ergibt, wenn man direkt die Zeilenvektoren zu einer Matrix zusammenfasst.