Hi,
ich zeige dir mal die a):
Linearität:
Sei \(f(x)=ax^2+bx+c\) und \(g(x)=dx^2+ex+f\).
So folgt: \(f(x)+g(x)=(a+d)x^2+(b+e)x+(c+f)\)
Wir erhalten \(A(f+g)=2 \cdot (a+d) x + (b+e) = (2 \cdot ax+b)+(2 \cdot dx+e)=A(f)+A(g)\)
Sei \(\lambda \in \mathbb{R}\) beliebig.
Es gilt: \(\lambda \cdot f = \lambda a x^2+\lambda b x+ \lambda c\)
So folgt: \(A(\lambda \cdot f)=2 \cdot (\lambda a)x+ \lambda b= \lambda (2ax+b) =\lambda A(f)\)
Darstellende Matrix:
Sei \(C=\{c_1,c_2,c_3\} \) und \(B=\{b_1,b_2\}\) mit \(c_1=1, \ c_2 = x , \ c_3 = x^2\) und \(b_1=1, \ b_2 =x\).
Es gilt:
\(A(c_1)=0=0 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2\)
\(A(c_2)=1=1 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2\)
\(A(c_3)=2x=0 \cdot b_1 + 2 \cdot x\)
Damit lautet deine darstellende Matrix: \(M^C_B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Kern:
Es gilt \(A(f)=0 \Leftrightarrow f(x)=K \ \forall x \in \mathbb{R}\) mit \(K \in \mathbb{R}\), womit \(Ker(f)=\{K \ \vert \ K \in \mathbb{R}\}\) folgt.
Bild:
Sei \(g \in Im(A)\) beliebig mit \(g(x)=ax+b\). Außerdem sei \(f(x)=\frac{a}{2}x^2+bx\).
So folgt: \(A(f)=g\)
Somit können wir jede beliebige Funktion vom Grad kleiner gleich 1 erhalten, weswegen \(Im(A)=W\) gilt.
