Lineare Algebra lineare Abbildungen

Question

 Hallöle,

ich bräuchte eure Unterstützung bei der Aufgabe , konnte bisher alle Aufgaben lösen, bis auf die.

:)

Answer 1

Hi,

ich zeige dir mal die a):

Linearität:

Sei $f(x)=ax^2+bx+c$ und $g(x)=dx^2+ex+f$.

So folgt: $f(x)+g(x)=(a+d)x^2+(b+e)x+(c+f)$

Wir erhalten $A(f+g)=2 \cdot (a+d) x + (b+e) = (2 \cdot ax+b)+(2 \cdot dx+e)=A(f)+A(g)$

Sei $\lambda \in \mathbb{R}$ beliebig.

Es gilt: $\lambda \cdot f = \lambda a x^2+\lambda b x+ \lambda c$

So folgt: $A(\lambda \cdot f)=2 \cdot (\lambda a)x+ \lambda b= \lambda (2ax+b) =\lambda A(f)$

Darstellende Matrix:

Sei $C=\{c_1,c_2,c_3\}$ und $B=\{b_1,b_2\}$ mit $c_1=1, \ c_2 = x , \ c_3 = x^2$ und $b_1=1, \ b_2 =x$.

Es gilt:

$A(c_1)=0=0 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2$

$A(c_2)=1=1 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2$

$A(c_3)=2x=0 \cdot b_1 + 2 \cdot x$

Damit lautet deine darstellende Matrix: $M^C_B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Kern:

Es gilt $A(f)=0 \Leftrightarrow f(x)=K \ \forall x \in \mathbb{R}$ mit $K \in \mathbb{R}$, womit $Ker(f)=\{K \ \vert \ K \in \mathbb{R}\}$ folgt.

Bild:

Sei $g \in Im(A)$ beliebig mit $g(x)=ax+b$. Außerdem sei $f(x)=\frac{a}{2}x^2+bx$.

So folgt: $A(f)=g$

Somit können wir jede beliebige Funktion vom Grad kleiner gleich 1 erhalten, weswegen $Im(A)=W$ gilt.