Lineare Algebra - Abbildungen

Question

 Seien X, Y Mengen. Für jede Menge Z definieren wir die Abbildung
idZ : Z → Z
z → z.
Diese Abbildung heißt auch die Identität auf Z.
(a) Zeigen Sie, dass f : X → Y genau dann bijektiv ist, wenn eine Abbildung g : Y → X existiert
mit f o g = idY und g o f = idX.
(b) Zeigen Sie die Eindeutigkeit der Abbildung g aus Teil (a), falls sie existiert.

Answer 1

Seien X, Y Mengen. 
(a) Zeigen Sie, dass f : X → Y genau dann bijektiv ist,

wenn eine Abbildung g : Y → X existiert mit f o g = idY und g o f = idX.

Zur Richtung "==>"  Sei f bijektiv. Definiere g:Y---> X durch

                                                         g(y)=x <=>   f(x)=y

Dies ist eine Abbildung, da es

(i) zu jedem y∈Y so ein x∈X gibt, weil f surjektiv ist und

(ii) ist das zu y gehörige x eindeutig bestimmt, weil f Injektiv ist.

Dann gilt für alle x∈X    (gof)(x) = g(f(x)) = g(y)   mit  y=f(x)

                                   also  g(y) )= x und damit    (gof)(x)  = x ,

                                 also  gof = id_X .

Außerdem gilt für alle y∈Y   (fog)(y) = f(g(y))  = f(x) mit   f(x)= y

 also     (fog)(y) = y .     Also  fog = id_Y .