Ich würde mal folgende Substitution versuchen:
u(x) = x*v(x) bzw. v = u/x
Daraus folgt: v' = u + x*u'
Teilt man die gegebene Differentialgleichung einmal durch x, so folgt:
y' = y/x + sqrt(x²+y²)
Mit der Substitution:
u + x*u' = u + sqrt(x²+x²u²) | -u, :x
u' = sqrt(1+u²)
Das lässt sich jetzt sehr einfach mit Separation der Variablen lösen.
$$ \begin{array} { l } { \int \frac { d u } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } } = \int d x } \\ { u = \sinh ^ { - 1 } ( u ) = x - x _ { 0 } } \\ { u = \sinh \left( x - x _ { 0 } \right) } \\ { y = x ^ { * } \sinh \left( x - x _ { 0 } \right) } \end{array} $$
Das Integral über 1/sqrt(1+u²) lässt sich leicht durch eine Substitution mit u=sinh(v) und ausnutzen des hyperbolischen Pythagoras 1=cosh²(x) - sinh²(x) lösen.