Differentialgleichung (Dgl) 1. Ordnung x*y' = y+x * Wurzel x²+y²

Question

Problem mit einer Differentialgleichung 1. Ordnung:

Lösen sie folgende DGL. 1 Ord. x*y´ = y+x * Wurzel x²+y² und dann anpassen an Anfangsbedingung y(x=2)=10

Bekomme die Wurzel nicht weg. Hatte es mit Substitution und TdV (Trennung der Variablen) versucht, komme aber einfach nicht darauf.

Comments

Wie weit geht die Wurzel? - Entweder die Klammern setzen Wurzel(...) oder die Gleichung mit Latex posten.

Answer 1

Ich würde mal folgende Substitution versuchen:

u(x) = x*v(x) bzw. v = u/x

Daraus folgt: v' = u + x*u'

Teilt man die gegebene Differentialgleichung einmal durch x, so folgt:

y' = y/x + sqrt(x²+y²)

Mit der Substitution:

u + x*u' = u + sqrt(x²+x²u²) | -u, :x

u' = sqrt(1+u²)

Das lässt sich jetzt sehr einfach mit Separation der Variablen lösen.

$$ \begin{array} { l } { \int \frac { d u } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } } = \int d x } \\ { u = \sinh ^ { - 1 } ( u ) = x - x _ { 0 } } \\ { u = \sinh \left( x - x _ { 0 } \right) } \\ { y = x ^ { * } \sinh \left( x - x _ { 0 } \right) } \end{array} $$

Das Integral über 1/sqrt(1+u²) lässt sich leicht durch eine Substitution mit u=sinh(v) und ausnutzen des hyperbolischen Pythagoras 1=cosh²(x) - sinh²(x) lösen.

Comments

Ich hab da mal eine Frage zu.

Und zwar, wie kommst du von sqrt(x²+x²u²) auf sqrt(1+u²)?

Du teilst durch x, dass ist klar. Aber wie sieht der Schritt genau aus? Oder is das eine bestimmte Regel die ich noch nicht kenne?



Gruß

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Oh, das war vielleicht ein Schritt zu schnell.

Ich klammere in der Wurzel x² aus, das sieht dann so aus:

sqrt(x²+x²u²) = sqrt(x²*(1+u²))

Und jetzt ist nach den Wurzelgesetzen sqrt(a*b) = sqrt(a)*sqrt(b), also in diesem Fall:

sqrt(x²*(1+u²))= sqrt(x²)*sqrt(1+u²) = x*sqrt(1+u²)

Und jetzt teile ich durch x, dann fällt das weg und übrig bleibt sqrt(1+u²).