DGL 1.O. Lösen 2xyy' - y² = x²

Question

ich habe ein Problem mit der DGL 2*xyy' - y² = x²
Es gibt schon einen ähnlichen eintrag über xyy´-y²=x² , die ich auch lösen kann. Allerdings durch den Faktor 2 in dieser DGL komme ich zu folgendem Problem:
2*xyy' - y² = x²

y´ = 1/2*(x/y+y/x)Substitution: u= y/x    ->    y=u*x   ->    y'= u'*x+u 
eingesetzt:u´x+u=1/2*(u+1/u)u´x=1/2*(1/u)-1/2*uu´=1/2x*(1/u-u)       =du/dxTrennung der Variablen und Int.:∫  1/2x  dx  =  ∫ 1/(1/u-u)  du∫ 1/2x  dx    =    ∫ u/(1-u²)

links ->  ln 2x +C
rechts -> partiell Integration liefert
u * artanh (u) -  ∫  artanh(u)  du
also insgesamt:
C + ln 2x = u * artanh (u) -  ∫  artanh(u)  du

----Nebenrechnung-----=u*artanh(u)+1/2*ln(1-u²)
C + ln 2x =  -1/2 * ln(1-u²)

ln(C)+ ln 2x =  -1/2 * ln(1-u²)
-2 * ln(2xc) = ln(1-u²)
ln((2xc)^-2) = ln(1-u²)

1/4x²c² = 1-u²
u² = y²/x² = 1 - 1/4x²c²                Rücksubstitution
y² = x² - 1/4c²
y² = x² + C


Die angegebene Lsg lautet: y² = x(x+C)
Kann mir dabei jemand bitte weiterhelfen? Ich sehe mienen Fehler nicht... ! :)

Answer 1

Deine Substitution ist richtig.(u=y/x)

eingesetzt:

u 'x +u -u/2= 1/(2u)

ich bin auf folgendes Integral gekommen:

∫ ((2u)/(1-u^2)  du = ∫ 1/x dx

-ln (1 -u^2)=ln|x|+C

usw .