DGL 1. Ordnung lösen xyy' - y² = x²

Question

Ich habe folgende DGL 1. Ordnung, welche ich lösen muss.

xyy' - y² = x²

Ich habe zunächst durch xy geteilt und konnte dann bei y² und x² kürzen. Danach habe ich eine  Substitution gemacht mit u=y/x und habe die diese dann berechnet. Sieht dann wie folgt aus.

y' - y/x = x/y

Substitution: u= y/x        y=u·x       y'= u'·x+u

Eingesetzt:

u'·x + u - u = 1/u

u'·x = 1/u

du/dx ·x = 1/u

u du = dx/x

1/2 u² = ln x +C

u² = 2 ln x +C

u = √(2 ln x + c)

Rücksubstitution: u = y/x

y/x = √(2 ln x +C)

y = x·√(2 ln x +C)

 
Als Ergebnis habe ich nun \( y = x·\sqrt{2 \ln x + C} \)

Ist das so korrekt? Leider habe ich kein Ergebnis zum Abgleich.

Answer 1

Ja, das ist richtig, mit einer kleinen Einschränkung: du hast nur eine von zwei möglichen Lösungen, weil du beim Wurzelziehen die negative Lösung nichtbeachtest. Am Ende also einfach noch ein ± davor, dass ist es so allgemein wie möglich.

Testen ob es richtig ist, kannst du, indem du deine Lösung wieder in die Differentialgleichung einsetzt.

Erstmal muss man y'(x) berechnen:
(Ich rechne das mal für deine Lösung, also mit dem Plus durch.)

$$ y ( x ) = x · \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } }\\ y ( x ) = \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } + x · \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } } \frac { 2 } { x } \\ = \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } } x · y ( x ) · y ^ { \prime } ( x ) - y ^ { 2 } \\ = x · x · \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } · \left( \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } } \right) - \left( x · \sqrt { 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } } \right)^2 \\ = x ^ { 2 } · \left( 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } \right) + x ^ { 2 } - x ^ { 2 } · \left( 2 \ln ( x ) + C _ { 1 } \right) = x ^ { 2 } $$

Offensichtlich ist die DGL erfüllt, damit ist das eine richtige Lösung.

Comments

mich würde interessieren, was das überhaupt ist: xyy' - y² = x² ?

Ich kannte bisher nur f(x) = ... = y

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In der höheren Mathematik und vor allem in der Physik, sind die Lösungen von Aufgaben nicht mehr nur Zahlen, sondern manchmal auch Funktionen - für diese Funktionen sind dann gewisse Zusammenhänge bekannt, aus denen man die tatsächliche Funktion rekonstruieren muss.

Im oberen Fall ist eine Funktion y(x) gesucht, für die die Gleichung

x*y(x)*y'(x)-y(x)²=x²

erfüllt ist.

y'(x) ist die Ableitung von y an der Stelle x, also ihre Steigung an dieser Stelle.

Eine solche Gleichung, wo eine Funktion und ihre Ableitungen vorkommen, nennt man Differentialgleichung.

 

Die Gleichung aus der Aufgabe ist eine nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung.

Das bedeutet:
- nichtlinear: die Gleichung ist nichtlinear in y(x) und ihren Ableitungen, das bedeutet, wenn y₁(x) und y₂(x) Lösungen der Gleichung sind, ist nicht zwingend ( y₁+y₂)(x) ebenfalls Lösung.

- gewöhnlich: es kommen nur Ableitungen nach einer Variablen, nämlich x vor.

- 1. Ordnung: die höchste vorkommende Ableitung ist die 1., nämlich y'(x)