Momentane Änderungsrate genauere Bestimmung

Question

Genauere Bestimmung der Aufprallgeschwindigkeit
Mit dem Ergebnis für die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Zeitintervall [2,5; 3] erhält man einen Näherungswert für die Aufprallgeschwindigkeit, d.h. einen Näherungswert der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=3 s.
Will man die Aufprallgeschwindigkeit genauer wissen, dann benötigt man weitere Messwerte, am besten ganz nahe bei dem Aufprallpunkt. Wir verschaffen uns diese nicht durch Messen, sondern durch eine Anleihe bei der Physik. Diese besagt, dass der freie Fall durch eine Funktion modelliert werden kann. Für den Fall aus 45 m
Höhe ist hierfür die Funktion f(t) = 45 - 5t^2 geeignet.

LÖSUNG: f(0)= 45

f(0,5) = 43,75

f(1) = 40

f(1,5) = 33,75

aber WIESO geht man so vor? also wieso rechnet man überhaupt f(1) usw?

Comments

Achso, die Aufgabe ist folgende:

Bestätige, dass f(t) = 45 - 5t^2 eine passende Funktion für die angegebenen Tabellenwerte ist.

Answer 1

f(t) = 45 - 5*t^2
Aufprall bei 0 m
0 = 45 - 5^t^2
t = 3 sec

a = ( Erd - ) Beschleunigung = 10 m*s^2
v ( t ) = a * t
v ( 3 ) = 10 * 3
v ( 3 ) = 30 m/s

Dies ist die übliche Rechenweise.
Bei Bedarf nachfragen

Comments

Hallo georgborn, mit der Angabe des Ausdrucks  v(t) = a·t  (inkl.  a = 10 m/s²) gehst du natürlich über alles das hinweg, was in der vorliegenden Aufgabe erst gedanklich eingeführt werden soll.

Answer 2

Wenn man für die Bewegung die Funktion f kennt, welche für alle Werte von t die bis dahin zurückgelegte Strecke f(t)  liefert, muss man sich nicht mit eher langweiligen Rechnereien rumquälen, sondern nutzt die Erkenntnisse der Differentialrechnung mittels der Ableitungsfunktion  f' .

Im vorliegenden Text soll es aber erst um die mathematische Herleitung des Konzepts der Ableitung gehen.

Um auch schon ohne Ableitung einen recht guten Näherungswert für die Aufprallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 3 s  zu erhalten, nimmt man natürlich am besten etwa solche Intervalle wie  [2.9s ... 3s]  oder  [2.99s ... 3s] oder  [2.99s ... 3.01s] , wobei man im letzten Fall annimmt, dass es bei exakt 3s gar keinen Aufprall gibt, sondern dass die Fallbewegung einfach gemäß Formel weiterlaufen würde.

Comments

Also sollte man f(2,9) und f(3,1) etc ausrechnen statt f(1) (siehe oben)?

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Habe vergessen die Aufgabe hinzuschreiben. Also meine eigentliche Frage ist: WIE kommt man darauf, f(1), f(0.5) und f(1.5) auszurechnen?

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Dem Autor der Aufgabe geht es wohl darum, zunächst einmal den Begriff der Durchschnittsgeschwindigkeit in einem (zunächst beliebigen) Zeitintervall  [t₁...t₂]  einzuführen. Dies kann man vorerst mal anhand beliebiger Intervalle üben.

In einem weiteren Schritt wird es dann schon auch darum gehen, diese "Testintervalle" klein und kleiner zu machen und eben auch dicht an jener Stelle t zu positionieren, für welche dann eine "Momentangeschwindigkeit" ermittelt werden soll.