Bestimmen Sie Extrema und Wendepunkte von f.

Question

Aufgabe:

Rennwagen

Gegeben ist die Funktion f(t) = -(5t+100)e^(-t/20) + 100

a) Bestimmen Sie Extrema und Wendepunkte von f.

b) Zeichnen Sie den Graphen von f für 0 < t < 100

c) Ein Rennwagen fährt aus aus dem Stand an. Seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t wird durch f(t) modellhaft beschrieben (t: Zeit in Sekunden, f(t) in m/s). Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit. Wann beschleunig das Fahrzeug am stärksten?

d) Ab dem Zeitpunkt t = 60 soll die Beschleunigung linear abnehmen, wobei der Übergang bei t =  60 ohne Knick erfolgen soll. Wann ist die Beschleunigung auf null gesunken? Welche Bedeutung hat das für die Geschwindigkeit?

e) Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Rennwagen?

Problem/Ansatz:

a) und b) konnte ich bereits lösen, die Extrema ist T(0 l 0) und der Wendepunkt W ist (20 l e^-1 * (100e-200)

Ab Aufgabe c) komme ich nicht mehr weiter

Comments

zu d) Wann ist die Beschleunigung auf null gesunken?

um dies zu beantworten, fehlt noch eine Information. Um welchen Faktor soll die Beschleunigung linear abnehmen?

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Hast du dir mal den Graphen von f angesehen?

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Ja habe ich, aber es wurden keine weiteren Angaben in der Aufgabe gegeben, weshalb ich denke das der Graph sich ab t = 60 verändert.

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"... ich denke, dass der Graph sich ab t = 60 verändert."

Der Graph von f liegt in seinem gesamten Definitionsbereich fest.

Der Wendepunkt ist W[20| 100 - 200/e]

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Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

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Wenn die Aufgabe besagt, dass ab t = 60 die Beschleunigung abnehmen soll, kann sich der Graph dennoch doch verändern oder nicht?

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ja, das ist natürlich möglich.

Ich verstehe nicht, worauf diese Aufgabenstellung hinaus will. Welche Größe hat die Beschleunigung für t>60?

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Ich verstehe nicht, worauf diese Aufgabenstellung hinaus will.

Ich verstehe diese Aufgabe auch nicht.. das einzige was gegeben ist, ist "Ab dem Zeitpunkt t = 60 soll die Beschleunigung linear abnehmen, wobei der Übergang bei t =  60 ohne Knick erfolgen soll. Wann ist die Beschleunigung auf null gesunken? Welche Bedeutung hat das für die Geschwindigkeit?"

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Frag den, der dir die Aufgabe gegeben hat (vermutlich dein Lehrer/ deine Lehrerin)

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Da bei aufgabe d) t = 60 die Beschleunigung linear abnehmen soll, wobei kein Knick erfolgen soll - könnte man da nicht eine Tangentengleichung erstellen und damit dann die Nullstelle berechnen? Mit z.B. t(x) = f''(t) * (x - t) + f'(t), mit t = 60?

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Sieh dir mal die Skizze von Werner Salomon (unten) zu dieser Frage an. Auch Werner weiß nichts über die Größe der Beschleunigung für t>60. Seine blaue Kurve bricht daher ab.

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könnte man da nicht eine Tangentengleichung erstellen und damit dann die Nullstelle berechnen?

Die Nullstelle dieser Tangente läge in der Vergangenheit. Zeichne doch mal die Tangente ein, dann siehst Du es. Das macht keinen Sinn.

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Als Gleichung habe ich t(x) = -0,5e^-3x + 45e^-3 herausbekommen. Damit kann ich die Nullstelle berechnen -> N = 90

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Diese Lösung ist richtig.

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Weißt du auch wie ich die Endgeschwindigkeit berechne? Ist die Endgeschwindigkeit bei 100 oder bei dem Punkt wo die Beschleunigung 0 ist, weil dort ja die höchste Geschwindigkeit ist?

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Das geht aus der Aufgabenstellung nicht besonders eindeutig hervor.

Ich denke aber, dass nicht die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=100s (obere Grenze des gegebenen Intervalls) gesucht ist (das könnte man ja einfach durch Einsetzen ermitteln), sondern die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=90s , an dem die neue Beschleuniung 0 geworden ist.

Sie wird berechnet durch die Geschwindigkeit, die bis zum Zeitpunkt t=60s erreicht ist vermehrt um den Geschwindigkeitszuwachs, der durch die Beschleunigung im Zeitraum t=60s bis t=90s erzielt wird, dieser zweite Summand ist das Integral über die von dir mit t bezeichnete Beschleunigungsfunktion in den angegebenen Grenzen. (Oder die entsprechende Dreiecksfläche ohne Integralrechnung bestimmen.)

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Ich denke mal dann, dass ich das integral von 0 bis 60 mit der f‘(t) berechnen muss und dann das integral von 60 bis 90 mit t(x) berechnen muss oder? Dann kann man beide flächeninhalte zusammen addieren, wodurch man die Endgeschwindigkeit hat.

Klingt das logisch?

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Klingt das logisch?

Das tut es zwar, aber auch zu kompliziert. Im Wesentlichen ist doch ∫f ' = f (siehe meinen obigen Kommentar).

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Ohhh das stimmt, d.h Flächeninhalt von f(t) 0 bis 60 und integral von t(x) von 60 bis 90 berechnen oder?

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Ohhh das stimmt, d.h Flächeninhalt von f(t) 0 bis 60 und integral von t(x) von 60 bis 90 berechnen oder?

Nein - das ist nicht das, was hj2166 Dir mitteilen wollte. Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=90\text{s}\) zu berechnen, musst Du das nur \(t=90\) in den Term von \(f_{60}\) einsetzen (s. meine Antwort) Das was Du als \(t(x)\) bezeichnest ist doch nur die Ableitung von \(f_{60}\) - folglich ist \(f_{60}\) das Integral von \(t\).

(siehe Kommentar unter meiner Antwort)

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ich denke, die ganze Verwirrung der Aufgabe liegt in diesem Satz:

d) Ab dem Zeitpunkt t = 60 soll die Beschleunigung linear abnehmen, wobei der Übergang bei t =  60 ohne Knick erfolgen soll.

Oben ist von der Geschwindigkeit und der Funktion \(f\) die Rede, die die Geschwindigkeit darstellt. Und hier ist anscheinend der Übergang der Beschleunigungsfunktion gemeint, obwohl diese vorher nirgendwo erwähnt wird - offensichtlich ist das nicht!

Answer 1

Hallo,

Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit. Wann beschleunigt das Fahrzeug am stärksten?

Ich würde sagen, dass ist der Wendepunkt der Ableitung, also Nullstelle der 3. Ableitung.

Gruß, Silvia

Comments

Wäre das dann nicht die Nullstelle der 2. Ableitung?

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... also Nullstelle der 3. Ableitung.

es ist die Nullstelle der 2. Ableitung. \(f(t)\) ist die Geschwindigkeit, nicht der Weg. Also ist der Zeitpunkt der maximalen Beschleunigung der Wendepunkt von \(f(t)\) bei \(t_w=20\), da dort die maximale Steigung von \(f\) ansteht.

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Ok, vielen dank. Wie berechne ich danach die Aufgabe d) und e)?

Answer 2

Hallo,

Wann ist die Beschleunigung auf null gesunken?

wie schon oben im Kommentar geschrieben fehlt da noch eine Angabe um das mit einem Wert zu beantworten.

Welche Bedeutung hat das für die Geschwindigkeit?

Die Geschwindigkeit bleibt konstant, wenn die Beschleunigung bei 0 ist. Wenn die Beschleunigug linear zurückgeht hat die Geshwindigkeit dann ihr maximum erreicht.

e) Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Rennwagen?

Wenn die Geschwindigkeit durch \(f\) beschrieben wird, ist seine Geschwindigkeit \(f(100)\approx 96,0\). Ansonsten wird der Wagen maximal \(f(t) = 100\quad t\to \infty\) schnell.

Wenn man die Abnahme der Beschleunigung wie bei d) beschrieben, berücksichtigt, dann kommt es darauf an, wie stark die Beschleunigung nach den 60s linear abnimmt.

Für die Geschwindigkeitskurve \(f(t)\) nach 60s kann man schreiben:$$f_{60}\left(t\right)=f\left(60\right)+f'\left(60\right)\left(t-60\right)+\frac{1}{2}a_{b}\left(t-60\right)^{2}\quad\quad a_{b} \lt 0, \space t \ge 60$$Der Faktor \(a_{b}\) würde die lineare Abnahme der Beschleunigung beschreiben.

Für \(a_{b}=-0,05\) sähe es so aus:

https://www.desmos.com/calculator/nli8se7yz9

Gruß Werner

Comments

wie schon oben im Kommentar geschrieben fehlt da noch eine Angabe um das mit einm Wert zu beantworten.

In der Aufgabe gibt es jedoch keine weiteren angaben. Alles was angeben wurde, wurde in der Aufgabe genannt

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In der Aufgabe gibt es jedoch keine weiteren angaben.

Bei t=60s liegt die Beschleunigung bei ca. 1,11m/s^2. Wenn die jetzt linear abnimmt, dann ist es doch nicht egal wie stark sie linear abnimmt. Umso stärker sie abnimmt, desto schneller wird die Beschleunigung von 0m/s^2 erreicht.

Also kann man ohne eine weitere quantitative Angabe die Frage nach der Dauer nicht mit einem quantitaven Wert beantworten.

Wäre es möglich, dass die Aufgabe so gemeint ist, dass die Endgeschwindigkeit für den Fall d) die selbe sein soll, als wenn man \(f\) weiter fortsetzen würde. Das wären nämlich genau 100m/s Endgeschwindigkeit nach \(t_{\max} \approx 113,3\text{s}\) und sähe so aus:

https://www.desmos.com/calculator/emavb69dso

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Da bei aufgabe d) t = 60 die Beschleunigung linear abnehmen soll, wobei kein Knick erfolgen soll - könnte man da nicht eine Tangentengleichung erstellen und damit dann die Nullstelle berechnen? Mit z.B. t(x) = f''(t) * (x - t) + f'(t), mit t = 60?

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... könnte man da nicht eine Tangentengleichung erstellen

Eine Tangente würde eine konstante Beschleunigung bedeutet. Das ist aber nicht der Fall! Die Beschleunigung soll doch linear abnehmen.

ich habe Dir den Ansatz dafür bereits oben als \(f_{60}\) hingeschrieben. Es ist nur unklar, wie groß das \(a_{b}\) ist.

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Eine Tangente würde eine konstante Beschleunigung bedeutet

Die Beschleunigung soll jedoch linear abnehmen, was eine konstante abnehmende Beschleunigung heißt oder nicht?

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Die Beschleunigung soll jedoch linear abnehmen, was eine konstante abnehmende Beschleunigung heißt oder nicht?

Ja genau - ich hatte zuletzt übersehen, dass Deine "Tangente" keine Tangente an \(f\) sondern an \(f'\) ist. So gesehen kann man meine Frage nach dem Wert \(a_b\) auch so beantworten, dass \(a_b\) eben die Änderung von \(f'\) - also der Beschleunigung - ist, die zum Zeitpunkt \(t=60\) ansteht.

Also \(a_b = f''(60) \approx -0,0249\text{m}/\text{s}^3\). Dann würde aus dem Verlauf von \(f_{60}\)

https://www.desmos.com/calculator/zkbunuhtkv

diese Kurve (blau) erreicht dann bei \(t=90\text{s}\) ihr Maximum, genau wie Du es bereits berechnet hast. Wenn der Rennwagen von da an die Geschwindigkeit hält, wäre die gesuchte Endgeschwindigkeit \(v_{\max}=f_{60}(90) \approx 91,3\text{m}/\text{s}\).

Die Aufgabenstellung lässt wahrlich viel Raum für Spekulationen.

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Mit der Formel, die ich oben beschrieben habe kam ich jedoch auf das gleiche Ergebnis, heißt es war zufällig oder ist dieser Rechenschritt möglicherweise auch Richtig?

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Mit der Formel, die ich oben beschrieben habe kam ich jedoch auf das gleiche Ergebnis, heißt es war zufällig oder ist dieser Rechenschritt möglicherweise auch Richtig?

es ist genauso richtig. Der Unterschied liegt lediglich darin, dass ich mit dem Geschwindigkeitsverlauf und Du mit der Beschleunigung gerechnet hast.

Das eine (die Beschleunigung) ist die Ableitung vom anderen (der Geschwindigkeit).

Answer 3

d) Ab dem Zeitpunkt t = 60 soll die Beschleunigung linear abnehmen,

        \(a(t) = mt + b\)

wobei der Übergang bei t =  60 ohne Knick erfolgen soll.

Die Funktion \(a\) soll Tangente an \(f'\) bei \(t = 60\) sein.