maximal möglichen Flächeninhalt Dreieck auszurechnen

Question

Aufgabe:

Der Punkt P (u/f(u)) wandert auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)=1/5x • (x-4)•(x-8) zwischen den Punkten O(0/0) und N(4/0).

Der Flächeninhalt A des eingefärbten Dreiecks hängt von der Lage P ab. Zeichnen Sie den Graphen der Zielfunktion A und ermitteln den Wert von u, bei den der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist.

Geben Sie diesen Flächeninhalt an.

Problem/Ansatz:

Hallo,

Ich verstehe nicht, was ich mit den angegeben Schnittpunkt N von f mit der x-Achse anfangen kann. Wie komme ich denn auf die Informationen die ich brauche um den maximal möglichen Flächeninhalt auszurechnen? Ich habe die Funktion aufgelöst und dann die Ableitung gemacht aber da kriege ich falsche Werte raus

Answer 1

f(x) = x^2-12x+32

A(u) = u*f(u)/2

A(u) =(u^3-12u^2+32)/2

Berechne:

A'(u) = 0

Comments

Danke für die Antwort aber wie kommt man denn auf x²-12x+32x?

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Klammern auflösen = ausmultiplizieren

Sorry, ich habe 1/5*x vergessen, also alles mal 1/5*x nehmen.

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Dann hab ich’s! Danke

Answer 2

Dass die Funktion f an der Stelle x=4 eine Nullstelle hat, kann man an der Funktionsgleichung sehr leicht ablesen. Die anderen Nullstellen müssen bei x=0 und x=8 liegen. Siehst du, warum ?

Zielgröße der Extremwertaufgabe ist natürlich der Inhalt des Dreiecks :  A(u) = (u · f(u))/2 .

Die Funktion, die abgeleitet werden sollte, ist hier also diese Funktion der Variablen u  (wobei u im Bereich zwischen 0 und 4 liegen soll).

Comments

Danke

Also ist Zweck der angegebenen Punkte bzw. O und N einfach nur die Eingrenzung, damit ich weiß, dass der Punkt P dazwischen liegen soll?

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Ja. Normalerweise würde in einer solchen Aufgabe zuerst mal eine kleine Kurvenuntersuchung der gegebenen Funktion f  verlangt. Ich würde empfehlen, dies ebenfalls noch zu tun !

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Alles klar! Vielen Dank

Answer 3

Der Punkt \(P (u|f(u))\) wandert auf dem Graphen der Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{5}x • (x-4)•(x-8)\) zwischen den Punkten \(O(0|0)\) und \(N(4|0)\)

\(A= \frac{1}{2}• u•f(u)\) soll maximal werden

\(f(u)=\frac{1}{5}u • (u-4)•(u-8)=(\frac{1}{5}u^2-\frac{4}{5}u)•(u-8)\)

\(f´(u)=(\frac{2}{5}u-\frac{4}{5})•(u-8)+(\frac{1}{5}u^2-\frac{4}{5}u)*1\)

\((\frac{2}{5}u-\frac{4}{5})•(u-8)+(\frac{1}{5}u^2-\frac{4}{5}u)=0\)

u.s.w.

Comments

Bei mir ist leider ein blöder Fehler drin!

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Alles gut, ich glaub ich hab’s jetzt! Trotzdem danke