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\( a_{n}=\frac{3}{4-a_{n-1}} \quad n \geq 1 \quad a_{0}=2 \)
ICH MUSS ZEIGEN, DASS DIE FOLGE MONOTON FALLEND IST.
MEIN ANSATZ WAR: \( a_{n}=\left\{\left(\frac{3}{2}, \frac{6}{5}, \cdots\right\}=\left\{\mid \frac{15}{10}, \frac{12}{10}, \cdots\right\}\right. \)
ANNAUME: PALLEND
Af(i) \( a=\frac{3}{4-a} \Leftrightarrow 4 a-a^{2}-3=0 \Leftrightarrow a_{1}=3 \quad a_{2}=1 \)
OBERE SCHRANKE = 3?
VI: \( 1 . A \therefore a_{0}=2<3 \vee 1.5 \therefore a_{n+1} \leqslant \frac{3}{4-3}=3 \vee \rightarrow 3=0.5 \).
UNTERE. SCHRANKE \( =1: x_{0}=2<1 \vee 1 . S: a_{n+1} \geq \frac{3}{4-1}=1 \)
I.) \( a_{n+1}-a_{n}=\frac{3}{4-a_{n}}-a_{n}=\frac{3-4 a_{n}+a_{n}^{2}}{4-a_{n}}=\frac{\left(a_{n}-2\right)^{2}-1}{4-a_{n}} \)
NENNER MUSS \( >0 \) SEIN WBIL : \( 3=0.5 \).
\( \rightarrow \) DIE FRAGE IST ALSO: IM ZTULER:KANN DER AUSD RUCK \( \left(a_{n}-2\right)^{2} \) KCLEINER 1 SEIN? MEINE ÜBERLBGUNG: PÜR: \( 1 \leq a_{n} \) IS IST \( \left(a_{n}-2\right)^{2} \leq 1 \)
\( \geq 0 \)
\( \rightarrow a_{n+1}-a n \leq 0 \)
I.) \( z . z . \therefore a_{n+1}<a_{n}: \frac{3}{4-a_{n}}<a_{n} \leftrightarrow 0 \leq-a^{2}+4 a_{n}-3 \leftrightarrow 0>a_{n}^{2}-4 a_{n}+3= \) \( =\left(a_{n}-2\right)^{2}-1 \)
\( \rightarrow \) WIZDER DASSELBE WIE BE/R I.)
Aufgabe:
