Warum ist das Bild der Matrix x1 und x2 oder könnte es auch x3 und x4 sein?

Question

Aufgabe:

Warum ist das Bild der Matrix x1 und x2 oder könnte es auch x3 und x4 sein?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \mathbf{A}:=\left(\begin{array}{cccc}2 & 3 & -2 & 3 \\ 6 & 10 & -1 & 11 \\ 2 & 1 & -12 & -1\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( \operatorname{Bild}(A)=\operatorname{Span}\left(\begin{array}{l}2 \\ 6 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\ 10 \\ 1\end{array}\right) \)

Answer 1

Warum ist das Bild der Matrix x1 und x2

Weil dim Span (x1,x2) = Rang A ist

oder könnte es auch x3 und x4 sein?

Ja.

Comments

Super vielen Dank, also schaut man welchen Rang die Matrix hat und wählt anhand dessen die Anzahl der linear unabhängigen Spalten der Ausgangsmatrix?

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Wenn du eine Basis des Bildes haben willst, dann macht man das so.

Falls dir ein Erzeugendensystem ausreicht, dann kannst du auf die lineare Unabhängigkeit verzichten und einfach

        \(\begin{aligned}&\operatorname{Bild} \mathbf{A}\\ =& \operatorname{Span}\left(\begin{pmatrix}2\\6\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\10\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\-1\\-12\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\11\\-1\end{pmatrix}\right)\end{aligned}\)

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