Basis von Untervektorräumen: V :={(x1,x2,x3,x4)^t € R^4 | x1 = x2 + x3 + x4}

Question

Aufgabe (Basis eines Vektorraums):

Gegeben sind die Untervektorräume \( U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{t} \in \mathbb{R}^{4} | x_{1}+2 x_{2}=x_{3}+2 x_{4}\right\} \) und \( V= \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{t} \in \mathbb{R}^{4} | x_{1}=x_{2}+x_{3}+x_{4}\right\} \) des Vektorraums \( \mathbb{R}^{4} \)

1. Geben Sie jeweils eine Basis für \( U \) und \( V \) an. Der Nachweis der Basiseigenschaft ist nicht erforderlich.

2. Geben Sie eine Basis für \( U \cap V \) an. Beweisen Sie die Basiseigenschaft.

Ansatz:

Damit ich eine Basis der Untervektorräume bestimmen kann, müsste ich ja erst mal wissen, was für eine Dimension die Untervektorräume haben, aber ich weiß nicht wie ich die Dimension berechne.

Den Untervektorraum U könnte man so umschreiben, dass x₁=x₃ + 2x₄ - 2x₂ ist.

Also U = { (x₃ + 2x₄ - 2x_2, , x_{2 ,} x₃ ,x₄)^t} , aber ich weiß auch nicht, ob mir das so weiterhilft. Bei dem Untervektorraum V könnte man x1 dann genauso ersetzen.

Zum zweiten Teil hab ich mir gedacht, dass ich das x1 aus V einfach in das x1 aus U einsetze, aber ich weiß nicht, wie ich die Dimension berechne und dadurch kann ich auch keine Basis berechnen.

Comments

Bei V sieht man eigentlich gleich 3 linear unabhängige Elemente. Und die müssten dann eine Basis von V sein, da die Bedingung die Dimension 4 auf jeden Fall um 1 reduziert.

 V :={(x1,x2,x3,x4)^t € R^4 | x1 = x2 + x3 + x4} 

Basis_(V) = { (1,1,0,0)^t , (1,0,1,0)^t, (1,0,0,1)^t }

Basis von U kannst du analog basteln (es müssten ebenfalls 3 Basisvektoren sein).

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Okay, das hilft mir schon mal weiter.

Bei U hätte ich die Basis={(-2,1,0,0)^t,(1,0,1,0)^t),(2,0,0,1)^t}

Bei U ∩ V hätte ich die Basis={(1,0,0,0)^t,(0,1,0,3)^t,(0,0,1,0)^t}

Jetzt müsste ich noch zeigen, dass die Basisvektoren linear unabhängig sind, was offensichtlich ist.

Außerdem müsste ich zeigen, dass die Basisvektoren ein erzeungedes System von U ∩ V ist. Ich hätte das jetzt so gemacht:

a*(1,0,0,0)^t+b*(0,1,0,3)^t+c*(0,0,1,0)^t = (x1,x2,x3,x4)^t

Wenn ich das Gleichungssystem aufstelle bekomme ich raus, dass:

a=x1,b=x2,c=x3 und c=1/3*x4 ist. Kann man das so machen?

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Wie berechnest du die Basis von U n V ?

Dein Resultat, kann so nicht stimmen.

" Bei U ∩ V hätte ich die Basis={(1,0,0,0)^t,(0,1,0,3)^t,(0,0,1,0)^t} " kann nicht sein.

(1,0,0,0) ist offensichtlich nicht in V und damit nicht im Durchschnitt.

Du solltest damit rechnen, dass der Durchschnitt die Dimension 2 hat. Die Dimension kann nur dann 3 sein, wenn U = V ist, was aber nicht möglich ist, das es mindestens einen Basisvektoren gibt, der in U aber nicht in V ist.

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Ich nenne U n V einfach mal W.

Ich habe W umgeformt, sodass ich auf W = {(x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | 3x2 = x4}

Das habe ich dann zu W={x1,x2,x3,3x2) ∈ R^4} umgeformt. Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, hätte ich x1 und x3 durch eine 0 ersetzen müssen?

Auf die Basisvektoren bin ich so gekommen:

x1*(1,0,0,0)+x2*(0,1,0,3)+x3*(0,0,1,0) = (x1,x2,x3,3x2)

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Vielleicht liegt mein Fehler auch in der Berechnung von x1 + 2x2 = x3 +2x4 ∧ x1 = x2 + x3 + x4  Ich habe in die erste Gleichung einfach das x1 aus der zweiten eingesetzt:  x2+x3+x4+2x2=x3+2x4   3x2+x3+x4=x3+2x4   3x2+x4=2x4   3x2=x4

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Wolfgang hat dir inzwischen U n V ausgerechnet.

Zu diesem Zweck hat Wolfgang x3 und x4 als r und s parametrisiert.

Und dann das LGS gelöst.

Answer 1

1.

beide Gleichungen haben die Form  ax₁ + bx₂ + cx₃ + dx₄ = 0, sind also sogenannte "Hyperebenen" des ℝ⁴.

Als solche haben sie die Dimension 4 - 1 = 3.

U hat z.B. die Basis { (1,0,1,0) ,  (1,0,0,1/2) , (1, -1/2, 0, 0) }

V hat z.B. die Basis { (1,0,1,0) ,  (1,1,0,0) , (1, 0, 0, 1) }

2.

LGS:   x₁ + 2x₂ = x₃ + 2x₄  ∧  x₁ = x₂ + x₃ + x₄ 

| trennt Matrixzeilen:

LGS:   [ 1, 2, -1, -2, 0  |   1, -1, -1, -1, 0 ]    ↔   [ 1, 2, -1, -2, 0  |  0, -3, 0, 1, 0 ]

Lösungsmenge: { r • (1,0,1,0) + s • (1,1/3,0,1) ; r,s ∈ℝ }

Basis von U∩V

Gruß Wolfgang

Comments

Wie hast du das LGS gelöst? Ich komme immer auf 3x2=x4.

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Hatte da einen Fehler im LGS, Teilaufgabe korrigiert!

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Ich habs auch noch einmal nachgerechnet.  Kriege bei dem 2. Vektor aber (4,1,0,3) raus. Wenn man mit 1/3 multipliziert komm ich dann auf (4/3,1/3,0,1), was ja nur fast deiner Lösung entspricht.

Meine Rechnung:

1.x1+2x-x3-2x4=0

2.x1-x2-x3-x4=0

Als Koeffizientenmatrix:

1 2 -1 -2  | 0

1 -1 -1 -1 |0

Zweite Gleichung subtrahiert  von der ersten ergbit:

1 2 -1 -2 | 0

0 -3 0 1 | 0 => x4 = 3x2

x4 in die erste Gleichung einsetzen:

x1+2x2-x3-2*3x2 = 0

x1+2x2-x3-6x2 = 0

x1 = 4x2+x3

Der Vektorraum ist dann beschrieben durch W={(4x2+x3, x2, x3, 3x2)}

Die Basisvektoren wären dann: (4,1,0,3) und (1,0,1,0).

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Das ist auch richtig:

Wenn du meinen 2. Basisvektor mit 4 multiplizierst, hast du deinen :-)

Das ändert an der Basiseigenschaft nichts.

ich bin statt von  x₄ = 3x₂  von x₂ = 1/3 x₄  ausgegangen 

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Oh okay, alles klar. Vielen dank. :)

Answer 2

Also U = { (x₃ + 2x₄ - 2x_2, , x_{2 ,} x₃ ,x₄)^t} , aber ich weiß auch nicht, ob mir das so

doch, das hilft ; denn

(x₃ + 2x₄ - 2x_2, , x_{2 ,} x₃ ,x₄)^t  

= ( x3 ; 0 ; x3 ; 0 ) + ( -2x2 ; x2  ; 0 ; 0 ) + ( 2x4 ; 0 ; 0 ; x4 ) 

(eigentlich alle transponiert)

= x3* (1 ; 0 ; 1 0)+ x2( -2 ; 1 , 0 ;0 )  + x4 ( 2 ; 0;0; 1 ) 

und weil (1 ; 0 ; 1 0)  ,   ( -2 ; 1 , 0 ;0 )  ,  ( 2 ; 0;0; 1 ) 

lin. unabh. sind, bilden sie eine Basis, also dim=3

Comments

Für den 2. Teil nimmst du die beiden Gleichungen von U und V zusammen zu einem Gleichungssystem

und bestimmst davon die Lösungsmenge .

Das wird dann wohl 2-dimensional.

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Ich habe oben meinen Lösungsweg hingeschrieben. Kannst du dir das vielleicht angucken? Aber trotzdem schon mal danke für die Hilfe.