Anhand des Wendepunktes Funktionsgleichung ermitteln

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion / vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft. Der Punkt W (1/-0,625)ist ein Wendepunkt des Graphen von f. Anhand dieser Angaben kann eine Funktionsgleichung von f ermittelt werden. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von f

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Gleichung der Fkt f zu ermittlen, doch hat es nicht geklappt. Ich bitte um Hilfe

Answer 1

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion / vierten Grades,

\(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\)

deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist

(1)        \(b = 0\)

(2)        \(d = 0\)

und durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.

(3)        \(f(0) = 0\)

Der Punkt W (1/-0,625)

(4)        \(f(1) = -0{,}625\)

ist ein Wendepunkt des Graphen von f

(5)        \(f''(1) = 0\)

Löse das Gleichungssystem aus diesen fünf Gleichungen.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir suchen eine ganzrationale Funktion vierten Grades$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$deren Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist$$f(x)=ax^4+\cancel{bx^3}+cx^2+\cancel{dx}+e=ax^4+cx^2+e$$und durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft$$f(x)=ax^4+cx^2+\cancel{e}=ax^4+cx^2$$

Der Punkt \(W(1|-\frac58)\) ist ein Wendepunkt der Graphen, das heißt:

(1) Der Punkt selbst liegt auf dem Graphen:$$-\frac58=f(1)=a+c$$

(2) Die zweite Ableitung verschwindet bei \(x=1\):$$f'(x)=4ax^3+2cx\quad;\quad f''(x)=12ax^2+2c\quad;\quad 0\stackrel!=f''(1)=12a+2c$$Wir haben also zwei Gleichungen für die unbekannten Parameter:$$a+c=-\frac58\quad;\quad 6a+c=0\implies$$$$(6a+c)-(a+c)=0-\left(-\frac58\right)\implies$$$$5a=\frac58\implies a=\frac18$$

Wegen \(c=-\frac58-a=-\frac58-\frac18=-\frac34\) lautet die gesuchte Funktionsgleichung:$$f(x)=\frac18x^4-\frac34x^2$$

~plot~ 1/8*x^4-3/4*x^2 ; {1|-5/8} ; [[-4|4|-2|4]] ~plot~

Answer 3

"Gegeben ist eine ganzrationale Funktion / vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft. Der Punkt \(W (1|-0,625)\)ist ein Wendepunkt des Graphen von f. Anhand dieser Angaben kann eine Funktionsgleichung von f ermittelt werden. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von f."

Weg über die Nullstellenform der Parabel 4. Grades:

\(W (1|-0,625)\) ist Wendpunkt. Somit liegt wegen der Achsensymmetrie der 2.Wendepunkt bei  \(W_1 (-1|-0,625)\)

Der Graph von f geht durch den Punkt \(N(0|0)\).Insofern ist bei N eine doppelte Nullstelle.

\(f(x)=a*x^2*(x-N)*(x+N)=ax^2*(x^2-N^2)=a*x^4-ax^2*N^2\)

\(W (1|-0,625)\)

1.)\(f(1)=a*1^4-a*1^2*N^2=a-a*N^2=-0,625\)

\(W (1|....)\)

\(f´(x)=4*a*x^3-2*a*x*N^2\)

\(f´´(x)=12*a*x^2-2*a*N^2\)

2.)\(f´´(1)=12*a*1^2-2*a*N^2=0\)  →  \(N^2=6\) →\(N_1=\sqrt{6}\) ∨ \(N_2=-\sqrt{6}\)

\(N^2=6\) ∈  1.) \(a-a*6=-0,625\) →\(a=\frac{0,625}{5}=\frac{1}{8}\)

\(f(x)=\frac{1}{8}*x^2*(x^2-6)\)