Warum stimmt diese Aussage über Vektoren und Basis?

Question

Aufgabe:

Jede linear unabhängige Familie \( (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) \) aus Vektoren des \( \mathbb{R}^{3} \) bildet eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \)

Problem/Ansatz:

Warum stimmt diese Aussage?

Answer 1

Weil man jeden Vektor aus R^3 dann auch mit den

dreien erzeugen kann. Angenommen, es gäbe

einen, den man damit nicht erzeugen kann, dann wäre

dieser und die betrachteten drei Stück zusammen lin. unabh.

Aber 4 lin. unabh. Elemente in R^3 gibt es nicht. Denn man

kann jeden von R^3 mit der Standardbasis erzeugen, und

die hat nur drei Elemente.