Zeigen Sie mit Hilfe des Theorems von Bayes und dem Satz für die totale Wahrscheinlichkeit, dass das relative Risiko …

Question

Aufgabe:

In gewissen epidemiologischen Studien ist man daran interessiert, das relative Risiko für eine Krankheit zwischen zwei Gruppen zu vergleichen (ein Beispiel dafür ist das Risiko für Lungentumore bei Rauchern verglichen mit nicht-Rauchern). Solche Studien werden auch als case-control Studien bezeichnet, wobei sich "cases" auf die Fälle des Aufretens der Krankheit, "controls" auf die nicht-Fälle bezieht. Das relative Risiko berechnet sich dann durch den Quotienten

\(\displaystyle \mathrm{rr}=\frac{\text { Inzidenz der Krankheit in Gruppe A }}{\text { Inzidenz der Krankheit in Gruppe B }} . \)

Anders betrachtet können die Inzidenzen als bedingte Wahrscheinlichkeiten \( \mathrm{P}( \) case \( \mid A) \) und \( \mathrm{P}( \) case \( \mid B) \) geschrieben werden. Wenn in einer Population die gesamte Inzidenz sehr niedrig ist (z.B. Lungentumore), also die marginale \( \mathrm{W} \) ahrscheinlichkeit \( p=\mathrm{P} \) (case) sehr klein ist, kann es sehr schwierig sein, das relative Risiko zu schätzen, indem man Stichproben aus den beiden Gruppen entnimmt.

Zeigen Sie mit Hilfe des Theorems von Bayes und dem Satz für die totale Wahrscheinlichkeit, dass das relative Risiko wie folgt ausgedrückt werden kann:

\(\displaystyle \mathrm{rr}=\frac{\mathrm{P}(A \mid \text { case }) \cdot(p \cdot \mathrm{P}(B \mid \text { case })+(1-p) \cdot \mathrm{P}(B \mid \text { control }))}{\mathrm{P}(B \mid \text { case }) \cdot(p \cdot \mathrm{P}(A \mid \text { case })+(1-p) \cdot \mathrm{P}(A \mid \text { control }))} . \)

Welchen Teil von diesem Quotienten könnte man vernachlässigen bzw. vereinfachen, wenn bekannt ist, dass \( p \) sehr klein ist? Was für eine Strategie wäre dadurch möglich, um eine Schätzung von relativen Risiko zu erhalten?

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man hier ohne zahlen?

Comments

Die Aufgabentext war wieder doppelt doppelt. Das ist bei Dir öfters der Fall der Fall. Ich verstehe verstehe es nicht.

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Gestern wollte keiner ran.

Nun hat sich translocation erbarmt.

Answer 1

Wenn \(p=P(case)\), dann ist \(P(control) = 1-p\). Das macht das Aufschreiben leichter.

Per Definition gilt

$$rr = \frac{P(case|A)}{P(case|B)}$$

Mit Bayes + totaler Wahrscheinlichkeit folgt

$$P(case|A) = \frac{P(case \cap A)}{P(A)}$$$$ = \frac{P(A|case)P(case)}{P(A \cap case) + P(A\cap control)}$$$$ =\frac{P(A|case)P(case)}{P(A|case)P(case)+ P(A| control)P(control)}$$$$= \frac{pP(A|case)}{pP(A|case)+ (1-p)P(A| control)}$$

Die Rechnung für B funktioniert genauso. Also

$$P(case|B)= \frac{pP(B|case)}{pP(B|case)+ (1-p)P(B| control)}$$

Einsetzen in \(rr\) und kürzen von \(p\) gibt die gewünschte Formel:

$$rr = \frac{P(A|case)}{P(B|case)}\cdot \frac{pP(B|case)+ (1-p)P(B| control)}{pP(A|case)+ (1-p)P(A| control)}$$

Wenn \(p\) sehr klein ist, also \(p\approx 0\Rightarrow 1-p \approx 1\), dann bekommen wir die Schätzung

$$rr \approx \frac{P(A|case)}{P(B|case)}\cdot \frac{P(B| control)}{P(A| control)}$$

Das heißt, wir benötigen nur die relativen Anteile der Gruppen A und B an den Fällen \(case\) und \(control\), um \(rr\) zu schätzen.