Der Kern als orthogonales Komplement Beweis

Question

Aufgabe:

Beweise oder widerlege das gilt:

$$\text{Für eine Matrix X gilt stets:} N(X)=R(X^T)^\perp$$

Wobei$$ N(X)$$ der Kern ist und $$R(X)$$ der Bildraum.

Comments

Geht es um reelle Matrizen?

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Ja, $$X\in \mathbb{R}^{n \times k}$$

Answer 1

Wir brauchen folgende Infos, \(\langle.,.\rangle\) bezeichne das jeweils passende Standard-Skalarprodukt.

$$\forall v \in \R^n: \forall u \in \R^k: \quad \langle v,Xu\rangle=\langle X^Tv,u\rangle$$

$$\forall u \in \R^k: \quad Xu=0 \iff \forall v \in \R^n: \quad 0=\langle v,Xu\rangle$$

$$\forall u \in \R^k:\quad u \perp R(X^T) \iff \forall v \in \R^n: \quad 0=\langle X^Tv,u\rangle$$

Damit folgt die Behauptung

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Danke, hat mir sehr geholfen