Orthogonales Komplement des Kerns bestimmen. Aufgabe 3: Bilinearform.

Question

Ich habe diese Aufgabe gegeben: 

es handelt sich hierbei um Aufgabe 3!. 

Ich habe hier absolut keine Ahnung was ich machen soll. Durch das Skript wurde ich auch nicht schlauer.. 

Für jede Hilfe wäre ich unheimlich dankbar.. 

mfg

Orthogonales Komplement des Kerns bestimmen. Aufgabe 3: Billinearform.  

Comments

EDIT: Habe "orthogonalen Kern" durch "orthogonales Komplement des Kerns" ersetzt. Glaube mich zu erinnern, dass man das umgekehrte T so zu lesen hat. 

Answer 1

Hallo,

für \( f = ax + b \) und \( f' = a'x + b' \) ist

\( s(f, f') = \int_{-1}^1 (a a' x^2 + (ab' + a'b) x + bb') dx \)
\( = \left[ aa' \frac{x^3}{3} + (ab' + a'b) \frac{x^2}{2} + bb' x \right]_{-1}^1 \)
\( = \frac{2}{3} aa' + 2 bb' \).

Außerdem ergibt sich aus \( \varphi(f) = -a + b \), dass \( \ker(\varphi) = \{ f = a(x+1) \} \) ist.

Das bezüglich \( s \) orthogonale Komplement von \( \ker(\varphi) \) folgt aus

\( s(ax + a, a'x + b) = 2a \left( \frac{a'}{3} + b' \right) = 0 \).

Es ist

\( \ker(\varphi)^⟂ = \{ f'(x) = a' \left( x - \frac{1}{3} \right) \} \).

Grüße

Mister