Orthogonales Komplement, Unterräume

Question

Aufgabenstellung :

Habe Probleme vor allem bei (b) und (d), d ist sicher nicht richtig, da einfach eingesetzt:

Danke für Antworten

$$Sei\quad \beta \quad :\quad V\quad \times \quad V\quad \rightarrow \quad K\quad eine\quad Bilinearform.\quad V\quad ist\quad endlihcdimensional.\\ \\ Sei\quad W\quad ein\quad Unterraum\quad von\quad V\quad und\\ \\ { W }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad V\quad |\quad \beta (v\quad ,\quad w)\quad =\quad 0\quad für\quad alle\quad w\quad \in \quad W \right\} .$$

$$(a)\quad Zeigen\quad Sie\quad dass\quad { W }^{ \bot }\quad ein\quad Unterraum\quad von\quad V\quad ist.\\ (b)\quad Seien\quad { W }_{ 1 }\quad ,\quad { W }_{ 2 }\quad Unterräume\quad von\quad V.\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass{ \left( { W }_{ 1 }\quad +\quad { W }_{ 2 } \right) }^{ \bot }\quad =\quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad \bigcap \quad { W }_{ 2 }^{ \bot }.\\ (c)\quad Seien\quad { W }_{ 1 }\quad ,\quad { W }_{ 2 }\quad Unterräume\quad von\quad V.\quad Beweisen\quad Sie,\quad wenn\quad { W }_{ 1 }\quad ein\quad Unterrauum\quad von\quad \quad { W }_{ 2 }\quad \\ \quad ist,\quad dann\quad ist\quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\quad ein\quad Unterraum\quad von\quad { W }_{ 1 }^{ \bot }.\\ (d)\quad Bestimmen\quad Sie\quad \left\{ 0 \right\} ^{ \bot }.$$

$${ W }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad V\quad |\quad \beta (v\quad ,\quad w)\quad =\quad 0\quad für\quad alle\quad w\quad \in \quad W \right\} \\ \\ (a)\\$$

$$\\ Seien\quad { v }_{ 1 }\quad ,\quad { v }_{ 2 }\quad \in \quad { W }^{ \bot }\quad und\quad \alpha \quad \in \quad K.\\ \\ Dann\quad gilt:\quad ({ v }_{ 1 }\quad +\quad { v }_{ 2 })\quad =\quad (v_{ 1 }\quad +\quad { v }_{ 2 }\quad ,\quad w)\quad =\quad (v_{ 1 }\quad ,\quad w)\quad +\quad ({ v }_{ 2 }\quad ,\quad w)\quad =\quad (0)\quad +\quad (0)\quad =\quad 0\quad \in \quad { W }^{ \bot }\\ bzw.\quad { (v }_{ 1 })\quad +\quad ({ v }_{ 2 })\quad \in \quad W\\ \\ und\quad (\alpha { v }_{ 1 })\quad =\quad (\alpha { v }_{ 1 }\quad ,\quad w)\quad =\quad \alpha \quad ({ v }_{ 1 }\quad ,\quad w)\quad =\quad \alpha ({ v }_{ 1 })\quad .\\ \\ \\$$

$$(b)\\ \\ { \left( { W }_{ 1 }\quad +\quad { W }_{ 2 } \right) }^{ \bot }\quad =\quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad \bigcap \quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\\ \\ Es\quad ist:\quad \\ { \left( { W }_{ 1 }\quad +\quad { W }_{ 2 } \right) }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad V\quad |\quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 1 }\quad +\quad { w }_{ 2 })\quad =\quad 0\quad für\quad alle\quad { w }_{ 1 }\quad \in \quad { W }_{ 1 }\quad und\quad { w }_{ 2 }\quad \in \quad { W }_{ 2 } \right\} \quad \\ und\quad \\ { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad \bigcap \quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad V\quad |\quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 1 })\quad =\quad 0\quad \quad \wedge \quad \quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 2 })\quad =\quad 0\quad für\quad alle\quad { w }_{ 1 }\quad \in \quad W\quad und\quad { w }_{ 2 }\quad \in \quad { W }_{ 2 } \right\} \\ \\ \\ \\ { \left( { W }_{ 1 }\quad +\quad { W }_{ 2 } \right) }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad V\quad |\quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 1 }\quad +\quad { w }_{ 2 })\quad =\quad 0\quad für\quad alle\quad { w }_{ 1 }\quad \in \quad { W }_{ 1 }\quad und\quad { w }_{ 2 }\quad \in \quad { W }_{ 2 } \right\} \quad \\ \\ \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 1 }\quad +\quad { w }_{ 2 })\quad =\quad 0\quad denn\quad \beta \quad ist\quad Bilinearform.\\ \\ Nach\quad 5.1.27\quad ist\quad v\quad =\quad 0.\quad Also\quad ist\quad { \left( { W }_{ 1 }\quad +\quad { W }_{ 2 } \right) }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ 0 \right\} \quad ????\quad \subseteq \quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad \bigcap \quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\quad denn\quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\quad ,\quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad sind\quad nicht\quad leer.\\ \\ \\ \\ \\ { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad \bigcap \quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad V\quad |\quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 1 })\quad =\quad 0\quad \quad \wedge \quad \quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 2 })\quad =\quad 0\quad für\quad alle\quad { w }_{ 1 }\quad \in \quad W\quad und\quad { w }_{ 2 }\quad \in \quad { W }_{ 2 } \right\} \\ \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 1 })\quad =\quad 0\quad \quad \wedge \quad \quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 2 })\quad =\quad 0\quad \rightarrow \quad \beta (v\quad ,\quad { w }_{ 1 })\quad +\quad (v\quad ,\quad { w }_{ 2 })\quad =\quad 0\quad +\quad 0\quad denn\quad \beta \quad ist\quad Bilinearform.\\ Nach\quad 5.1.27\quad ist\quad v\quad =\quad 0.\quad Also\quad ist\quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad \bigcap \quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ 0 \right\} \quad ????\quad \quad \subseteq \quad { \left( { W }_{ 1 }\quad +\quad { W }_{ 2 } \right) }^{ \bot }\quad denn\quad { W }_{ 2 }^{ \bot }\quad ,\quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad sind\quad nicht\quad leer.\\ \\ \\ \\$$

$$(c)\quad \quad { W }_{ 1 }\quad ist\quad Unterraum\quad von\quad { W }_{ 2 }:\\ \\ Es\quad gilt\quad V\quad =\quad { W }_{ 1 }\quad \bigoplus \quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad \quad da\quad { w }_{ 1 }\quad \in \quad { W }_{ 1 }\quad \bigcap \quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ 0 \right\} \quad ,\quad da\quad { W }_{ 1 }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ 0 \right\} \quad ????\\ \\ und\quad ebenso\quad V\quad =\quad { W }_{ 2 }\quad \bigoplus \quad { W }_{ 2 }^{ \bot }.\quad \\ \\ Ist\quad dim({ W }_{ 1 })\quad \le \quad dim({ W }_{ 2 })\quad folgt\quad dim({ W }_{ 2 }^{ \bot })\quad \ge \quad dim({ W }_{ 2 }).\\ \\$$

$$(d)\\ \\ { 0 }^{ \bot }\quad =\quad \left\{ v\quad \in \quad V\quad |\quad \beta (v\quad ,\quad 0)\quad =\quad 0 \right\} \quad ???\\ \\$$

Comments

(c) $$Ist\quad dim({ W }_{ 1 })\quad \le \quad dim({ W }_{ 2 })\quad folgt\quad dim({ W }_{ 2 }^{ \bot })\quad \ge \quad dim({ W }_{ 1 }^{ \bot }).$$

Answer 1

d)  Da für jede Bilinearform ß immer gilt  ß( v , 0 ) = 0 für alle  v ∈ V ,  ist  {0}^⊥ = V.

b) würde ich stärker formalisieren, etwa so:

Sei v ∈ (W1 + W2)^⊥  ==> ß(v,w)=0 für alle w ∈ W1 + W2.

Da 0  ∈  W2  folgt insbesondere  ß(v,w)=0 für alle w ∈ W1

==>    v  ∈ W1^⊥

Ebenso  v  ∈ W2^⊥ , also   v  ∈ W1^⊥   ∩ W2^⊥ .

Dann umgekehrt: Sei   v  ∈ W1^⊥   ∩ W2^⊥ .

Dann gilt für alle w1  ∈ W1  und alle w2  ∈ W2

             ß(v,w1)=0 und  ß(v,w2)=0

Sei nun   w ∈ W1 + W2  , dann gibt es  ein w1 ∈ W1  und

ein  w2 ∈  W2 mit    w = w1 + w2 .  Also :

ß( v,w) = ß(v, w1+w2) Und weil ß eine Bilinearform sit, gilt

           =  ß(v, w1)+ ß(v,w2)

            = 0 + 0 = 0

==>   v  (W1 + W2)^⊥ .