Beweis Kern einer Matrix.

Question

Aufgabe:

a)$$ Ker(A^TA)=Ker(A), $$

b) $$Ker(AA^T)=Ker(A^T)$$

Problem/Ansatz:

Teilaufgabe (a) habe ich bereits gezeigt. Für (b) gibt es den Hinweis, dass man sich dort die meiste Arbeit sparen kann für den Beweis, ich weiß aber nicht auf welchen Zusammenhang hier verwiesen wird. Hat jemand eine Idee?

Answer 1

Es ist \(\left(A^T\right)^T=A\)

Comments

Wie kann ich das nun für den Beweis verwenden?

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Ersetze in a) jedes \(A\) durch \(A^T\).

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Ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch, wie vereinfacht das den Beweis wenn ich das anwende?

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Dann führe eine neue Matrix B ein, die du mit B=A^T definierst. B^T muss dann entsprechend A sein.

Zu beweisen wäre damit

\( Ker(B^TB)=Ker(B)\), und dieser Beweis wurde laut deiner Angabe schon unter a) geführt.

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Danke, das ist einleuchtend!