Aufgabe:
Beweise oder widerlege das gilt:
Fu¨r eine Matrix X gilt stets : N(X)=R(XT)⊥\text{Für eine Matrix X gilt stets:} N(X)=R(X^T)^\perpFu¨r eine Matrix X gilt stets : N(X)=R(XT)⊥
WobeiN(X) N(X)N(X) der Kern ist und R(X)R(X)R(X) der Bildraum.
Geht es um reelle Matrizen?
Ja, X∈Rn×kX\in \mathbb{R}^{n \times k}X∈Rn×k
Wir brauchen folgende Infos, ⟨.,.⟩\langle.,.\rangle⟨.,.⟩ bezeichne das jeweils passende Standard-Skalarprodukt.
∀v∈Rn : ∀u∈Rk : ⟨v,Xu⟩=⟨XTv,u⟩\forall v \in \R^n: \forall u \in \R^k: \quad \langle v,Xu\rangle=\langle X^Tv,u\rangle∀v∈Rn : ∀u∈Rk : ⟨v,Xu⟩=⟨XTv,u⟩
∀u∈Rk : Xu=0 ⟺ ∀v∈Rn : 0=⟨v,Xu⟩\forall u \in \R^k: \quad Xu=0 \iff \forall v \in \R^n: \quad 0=\langle v,Xu\rangle∀u∈Rk : Xu=0⟺∀v∈Rn : 0=⟨v,Xu⟩
∀u∈Rk : u⊥R(XT) ⟺ ∀v∈Rn : 0=⟨XTv,u⟩\forall u \in \R^k:\quad u \perp R(X^T) \iff \forall v \in \R^n: \quad 0=\langle X^Tv,u\rangle∀u∈Rk : u⊥R(XT)⟺∀v∈Rn : 0=⟨XTv,u⟩
Damit folgt die Behauptung
Danke, hat mir sehr geholfen
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