Die fehlenden Einträge in der Matrix hast du schon richtig berechnet. Das heißt, die Übergangsmatrix ist
$$M = \left(\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)$$
Von deinem Gekritzel schließe ich, dass eine Anfangsverteilung \(p^{(0)}\) gegeben ist mit
$$p_1^{(0)} = P(X_0 = 1) = p_2^{(0)} = P(X_0 = 2)=\frac 12$$
Also
$$p^{(0)} = \begin{pmatrix} \frac 12 & \frac 12 & 0\end{pmatrix}$$
Wenn meine Interpretation deines Gekritzels richtig ist, soll nun \(p^{(2)}\) berechnet werden:
$$p^{(2)}= p^{(0)}M^2 =\begin{pmatrix} \frac 29 & \frac 7{18} & \frac 7{18}\end{pmatrix}$$
Rechnung ist hier.