Allgemeinwissen über Lineare Algebra

Question

Aufgabe: Aussage richtig oder falsch, wenn ja, warum?

1) Zu jedem Untervektorraum U von einen Vektorraum V, gibt es genau einen Untervektorraum U´ von V mit sodass U ∩ U´ = {0} und U + U´ = V.

2) Sei K ein Körper V,W seinen K-Vektorräume und sei f: V → W eine lineare Abbildung . U ⊆ V ist genau dann ein Untervektorraum von V, wenn f(U) ein Untervektorraum von W ist.

3) Ist A ∈ Mat(n x n; R) mit A² + A = 0, so sind 0 und -1 die einzig möglichen Eigenwerte von A.

4) Sind σ,ρ ∈ S_n so gilt sign(σ) = sign(ρ ο σ ο ρ1^{minus 1} )

Problem/Ansatz:

1 ist falsch, 2 ist falsch, 3 ist richtig, 4 ist richtig.

Ich habe mir versucht die Antworten herzuleiten, ich habe leider die falschen Ergebnisse gehabt. Kann mir jemand sagen warum dies so ist?

Comments

1) Betrachte z.B. die UVR im \( \mathbb R^2 \)

U sei der rote UVR, die grünen sind zwei Möglichkeiten für U'. Es gibt im allgemeinen einfach mehrere UVR mit dieser Eigenschaft und nicht nur genau einen.

2)

$$ f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^3, v \mapsto 0$$

Dann ist

$$ f\left[ \underbrace{\left\{\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}\right\}}_{=~~:~U}\right] = \{0\}$$

ein UVR, aber U ist sicherlich keiner.

3) Ist \( v\neq 0 \) ein EV zum EW \( \lambda \). Dann ist

$$ 0 = 0v= A^2v+Av = \lambda^2v+ \lambda v = (\lambda^2+\lambda)v $$

Wegen \( v\neq 0 \) also \( \lambda^2 + \lambda = 0 \) und somit \( \lambda \in \{-1,0\} \)

4) Signum ist ein Gruppenhomomorphismus \( S_n \to \{\pm1 \} \) 

Answer 1

1) \(U = \operatorname{Span}\,(1\ 0)^{\operatorname{T}}\)

\(U' = \operatorname{Span}\,(0\ 1)^{\operatorname{T}}\)

\(U'' = \operatorname{Span}\,(1\ 1)^{\operatorname{T}}\)

2) f(x) = 0