Specify PX2 , when the initial distribution satisfies PX0 [{1}] = PX0 [{2}] = 1/2?

Question

Aufgabe:

For suitable a, b, c ∈ [0, 1], let X = (X_n)n∈N_0 be a homogeneous Markov chain on a probability
space (Ω, F, P) with state space E = {1, 2, 3} and transition matrix of X is

a	b	c
c	b	2/3
c	1/2	1/2

(i) Specify all possible values for a, b and c.
(ii) Specify P_X_2, when the initial distribution satisfies P_X_0[{1}] = P_X_0[{2}] = 1/2.

Problem/Ansatz :

für (i) hab gefunden dass a = 2/3 und b = 1/3 und c = 0 . aber ich weiß nicht für (ii) wie ich es lösen kann ? Hilfe bitte ?

Answer 1

Die fehlenden Einträge in der Matrix hast du schon richtig berechnet. Das heißt, die Übergangsmatrix ist

$$M = \left(\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)$$

Von deinem Gekritzel schließe ich, dass eine Anfangsverteilung \(p^{(0)}\) gegeben ist mit

$$p_1^{(0)} = P(X_0 = 1) = p_2^{(0)} = P(X_0 = 2)=\frac 12$$

Also

$$p^{(0)} = \begin{pmatrix} \frac 12 & \frac 12 & 0\end{pmatrix}$$

Wenn meine Interpretation deines Gekritzels richtig ist, soll nun \(p^{(2)}\) berechnet werden:

$$p^{(2)}= p^{(0)}M^2 =\begin{pmatrix} \frac 29 & \frac 7{18} &  \frac 7{18}\end{pmatrix}$$

Rechnung ist hier.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Ich habe ungefähr dieselbe verfahren gefolgt, jedoch hab anderes Resultat als bei dir nämlich bei Matrix Multiplikation schritt

p^(2) = p^(0) * M^2 = (1/2  1/2  0) *M^2 = (2/9  7/18  7/18) was mir diese Ergebnisse Sinn macht , dass die summe 2/9 + 7/18 + 7/18 = 1 wobei P_X_2[{1}] = 2/9 und  P_X_2[{2}] = 7/18 und P_X_2[{3}] = 7/18.

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Stimmt. Die Matrix ist ja zeilenstochastisch. Also muss der Verteilungsvektor von links multipliziert werden.

Ich komme aus der spaltenstochastischen Markov-Welt. Deshalb hatte ich von rechts multipliziert.

Hast gut aufgepasst.

Ich pass die Lösung nachher noch an.

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@ Jonathan0001

Lösung ist angepasst.

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ok Vielen Dank