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Aufgabe 4 (5 Punkte). Sei \( A: \mathbb{C}^{10} \rightarrow \mathbb{C}^{10} \) eine lineare Abbildung. Es sei angenommen, dass 1 und 2 die einzigen Eigenwerte sind. Der Eigenraum von 1 ist dreidimensional und der von 2 ist zweidimensional. Nehmen Sie ferner an, dass
\( \operatorname{rank}(A-I)^{5}=\operatorname{rank}(A-I)^{4}=3 \)
Schreiben Sie alle möglichen Jordansche Normalform von \( A \) auf. Dabei steht \( \operatorname{rank}(M) \) für \( \operatorname{dim}(\operatorname{im}(M)) \)


Problem/Ansatz:Aus der Aufgabenstellung kennen wir die geometrische M. für EW 1 = 3 und EW 2 = 2.

Um die Jordansche Normalform zu kriegen, müssten wir noch die algebraischen M. herausfinden, dies wahrscheinlich mit der Zusatzinfo der Ränge (Siehe Aufg.) Was kann ich nun daraus ablesen?

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Tipp: die Dimensionalität der Eigenräume
liefert die Anzahl der Jordan-Kästchen.

Es gibt also 3 Jordankästchen zum Eigenwert 1

und 2 Jordankästchen zum Eigenwert 2.

Die Größe dieser Kästchen wird durch die angegebenen

Ränge eingeschränkt.

Avatar von 29 k

Soweit bin ich auch schon gekommen, meine Frage war was man aus der Zusatzinfo der Ränge ziehen konnte

Ich habe dazu folgende Überlegung:

Die zum Eigenwert 1 gehörigen Jordankästchen \(J(1,r)\)

liefern mit \(J(1,r)-I_r\) nilpotente Blöcke in \(A-I\).

Der beim Potenzieren von \(A-I\) verbleibende Rang = 3

muss von den \(J(2,s)-I_s\)

der Jordankästchen \(J(2,s)\) zum Eigenwert 2 herkommen.

Da es zum Eigenwert 2 nur 2 Jordankästchen gibt, hat der

aus diesen gebildete Block 3=1+2 Zeilen, ist also

bis auf die Reihenfolge der Kästchen eindeutig festgelegt.

Die übrigen 10-3=7 Komponenten müssen nun auf 3

Jordankästchen zum Eigenwert 1 verteilt werden.

Wegen des starren Ranges = 3 ab der 4-ten Potenz von \(A-I\)

dürften diese Kästchen max. den Rang 4 haben ???

So meine ich, dass nur die Aufteilungen

4+2+1, 3+3+1 und 3+2+2 in Frage kommen.

Stimme dir zu aber warum nicht 1+1+5?

Oh okay, habs verstanden jetzt, danke

Gäbe es ein 5x5-Jordankästchen zum Eigenwert 1, dann hätte man

\(rg((J(1,5)-I_5)^4)=1\), und damit wäre \(rg(A-I)^4=1+3\).

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