mögliche Jordansche Normalformen

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4 (5 Punkte). Sei \( A: \mathbb{C}^{10} \rightarrow \mathbb{C}^{10} \) eine lineare Abbildung. Es sei angenommen, dass 1 und 2 die einzigen Eigenwerte sind. Der Eigenraum von 1 ist dreidimensional und der von 2 ist zweidimensional. Nehmen Sie ferner an, dass
\( \operatorname{rank}(A-I)^{5}=\operatorname{rank}(A-I)^{4}=3 \)
Schreiben Sie alle möglichen Jordansche Normalform von \( A \) auf. Dabei steht \( \operatorname{rank}(M) \) für \( \operatorname{dim}(\operatorname{im}(M)) \)

Problem/Ansatz:Aus der Aufgabenstellung kennen wir die geometrische M. für EW 1 = 3 und EW 2 = 2.

Um die Jordansche Normalform zu kriegen, müssten wir noch die algebraischen M. herausfinden, dies wahrscheinlich mit der Zusatzinfo der Ränge (Siehe Aufg.) Was kann ich nun daraus ablesen?

Answer 1

Tipp: die Dimensionalität der Eigenräume
liefert die Anzahl der Jordan-Kästchen.

Es gibt also 3 Jordankästchen zum Eigenwert 1

und 2 Jordankästchen zum Eigenwert 2.

Die Größe dieser Kästchen wird durch die angegebenen

Ränge eingeschränkt.

Comments

Soweit bin ich auch schon gekommen, meine Frage war was man aus der Zusatzinfo der Ränge ziehen konnte

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Ich habe dazu folgende Überlegung:

Die zum Eigenwert 1 gehörigen Jordankästchen \(J(1,r)\)

liefern mit \(J(1,r)-I_r\) nilpotente Blöcke in \(A-I\).

Der beim Potenzieren von \(A-I\) verbleibende Rang = 3

muss von den \(J(2,s)-I_s\)

der Jordankästchen \(J(2,s)\) zum Eigenwert 2 herkommen.

Da es zum Eigenwert 2 nur 2 Jordankästchen gibt, hat der

aus diesen gebildete Block 3=1+2 Zeilen, ist also

bis auf die Reihenfolge der Kästchen eindeutig festgelegt.

Die übrigen 10-3=7 Komponenten müssen nun auf 3

Jordankästchen zum Eigenwert 1 verteilt werden.

Wegen des starren Ranges = 3 ab der 4-ten Potenz von \(A-I\)

dürften diese Kästchen max. den Rang 4 haben ???

So meine ich, dass nur die Aufteilungen

4+2+1, 3+3+1 und 3+2+2 in Frage kommen.

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Stimme dir zu aber warum nicht 1+1+5?

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Oh okay, habs verstanden jetzt, danke

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Gäbe es ein 5x5-Jordankästchen zum Eigenwert 1, dann hätte man

\(rg((J(1,5)-I_5)^4)=1\), und damit wäre \(rg(A-I)^4=1+3\).