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Hallo :)

Ich habe die Matrix $$ \begin{pmatrix} 1 & 0&0&0 \\ i& 1&0&0\\i&0&2&0\\i&0&0&2 \end{pmatrix} $$

Ubd soll sie in Jordann normalform bringen:

Lösung ist. $$ \begin{pmatrix} 1 & 1&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix} $$

Meine Frage ist wie genau komme ich da drauf?  Auf der Diagonalen stehen ja die Eigenwerte.

Aber woher weiß ich,dass da noch eine 1 hin muss? In den Lösungen steht Rang (A-E)=3 und Rang(A-2E)=2.....wie hilft mir das weiter? 


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Hallo Nick,

Sei \( A \) mal deine Matrix und \( J \) ihre JNF. Dann existiert ja eine invertierbare Matrix \( S \) mit

$$ A = S^{-1} J S $$

Da du die EW der Matrix kennst wissen wir, dass die JNF von der Form

$$J= \begin{pmatrix} 1  & ?&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&?\\0&0&0&2\end{pmatrix}$$

ist. Die Einträge mit den Fragezeichen müssen wir jetzt noch bestimmen. Da für \(\lambda \in \mathbb{R}\)

$$A-\lambda E \\= S^{-1} J S - \lambda S^{-1} E S \\= S^{-1} (J - \lambda E) S, $$

sind die Matrizen \(A-\lambda E \) und \(J-\lambda E  \) ähnlich. Haben insbesondere also den gleichen Rang!

Rang für \( \lambda = 1\):

$$ A-1E = \begin{pmatrix} 0  & 0&0&0\\i&0&0&0\\i&0&1&0\\i&0&0&1\end{pmatrix}$$

Wir kommen hier durch elementare Umformungen maximal auf eine Nullzeile bzw. Nullspalte, also ist der Rang

$$Rang(A-1E) = 4-1=3 = Rang(J-1E)$$

Jetzt betrachten wir

$$J -1E= \begin{pmatrix} 0  & ?&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&?\\0&0&0&1\end{pmatrix} $$

Da diese Matrix Rang 3 hat man kann durch elementare Umformungen genau 1 Nullzeile bzw. Nullspalte erreichen, d.h. das obere Fragezeichen muss eine 1 sein. Wäre es eine 0 hätte die Matrix Rang 2.

Analog für \( \lambda = 2 \):

$$ A-2E = \begin{pmatrix} -1  & 0&0&0\\i&-1&0&0\\i&0&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}$$

Zwei Nullspalten, also hat die Matrix Rang 4-2=2. Der stimmt mit dem Rang von

$$J -2E= \begin{pmatrix} -1  & 1&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&?\\0&0&0&0\end{pmatrix} $$

überein. Das untere Fragezeichen muss also durch 0 ersetzt werden, da für 1 der Rang der Matrix = 3 wäre. So haben wir aber 2 Nullspalten und Rang 2.

---

Ergebnis:

$$J= \begin{pmatrix} 1  & 1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}$$

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