Hallo Nick,
Sei \( A \) mal deine Matrix und \( J \) ihre JNF. Dann existiert ja eine invertierbare Matrix \( S \) mit
$$ A = S^{-1} J S $$
Da du die EW der Matrix kennst wissen wir, dass die JNF von der Form
$$J= \begin{pmatrix} 1 & ?&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&?\\0&0&0&2\end{pmatrix}$$
ist. Die Einträge mit den Fragezeichen müssen wir jetzt noch bestimmen. Da für \(\lambda \in \mathbb{R}\)
$$A-\lambda E \\= S^{-1} J S - \lambda S^{-1} E S \\= S^{-1} (J - \lambda E) S, $$
sind die Matrizen \(A-\lambda E \) und \(J-\lambda E \) ähnlich. Haben insbesondere also den gleichen Rang!
Rang für \( \lambda = 1\):
$$ A-1E = \begin{pmatrix} 0 & 0&0&0\\i&0&0&0\\i&0&1&0\\i&0&0&1\end{pmatrix}$$
Wir kommen hier durch elementare Umformungen maximal auf eine Nullzeile bzw. Nullspalte, also ist der Rang
$$Rang(A-1E) = 4-1=3 = Rang(J-1E)$$
Jetzt betrachten wir
$$J -1E= \begin{pmatrix} 0 & ?&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&?\\0&0&0&1\end{pmatrix} $$
Da diese Matrix Rang 3 hat man kann durch elementare Umformungen genau 1 Nullzeile bzw. Nullspalte erreichen, d.h. das obere Fragezeichen muss eine 1 sein. Wäre es eine 0 hätte die Matrix Rang 2.
Analog für \( \lambda = 2 \):
$$ A-2E = \begin{pmatrix} -1 & 0&0&0\\i&-1&0&0\\i&0&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}$$
Zwei Nullspalten, also hat die Matrix Rang 4-2=2. Der stimmt mit dem Rang von
$$J -2E= \begin{pmatrix} -1 & 1&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&?\\0&0&0&0\end{pmatrix} $$
überein. Das untere Fragezeichen muss also durch 0 ersetzt werden, da für 1 der Rang der Matrix = 3 wäre. So haben wir aber 2 Nullspalten und Rang 2.
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Ergebnis:
$$J= \begin{pmatrix} 1 & 1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}$$
