Untersuchen, ob der Nullvektor nur auf triviale Weise als Linearkombination der Vektoren darstellbar ist

Question

Aufgabe:

Die Vektoren \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \) seien drei linear unabhängige Vektoren aus einem beliebigen reellen Vektorraum \( V \). Untersuchen Sie jeweils, ob der Nullvektor \( \mathbf{o} \in V \) nur auf triviale Weise als Linearkombination der Vektoren \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) darstellbar ist.

a) \( \mathbf{a}=\mathbf{u}-2 \mathbf{v}+3 \mathbf{w}, \quad \mathbf{b}=2 \mathbf{u}+3 \mathbf{v}-\mathbf{w}, \quad \mathbf{c}=3 \mathbf{u}-\mathbf{v}+2 \mathbf{w} \)

b) \( \mathbf{a}=3 \mathbf{u}-3 \mathbf{v}+2 \mathbf{w}, \quad \mathbf{b}=-\mathbf{u}+\mathbf{w}, \quad \mathbf{c}=-2 \mathbf{u}+3 \mathbf{v}-3 \mathbf{w} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

zu a) Das Gleichungssystem$$\vec a\cdot x+\vec b\cdot y+\vec c\cdot z=\vec 0$$ist eindeutig lösbar, denn$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\-2 & 3 & -1\\3 & -1 & 2\end{array}\right)=-14\ne0$$Daher wird nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet.

zu b) Das Gleichungssystem$$\vec a\cdot x+\vec b\cdot y+\vec c\cdot z=\vec 0$$hat unendlich viele Lösungen, denn$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & -2\\-3 & 0 & 3\\2 & 1 & -3\end{array}\right)=0$$Daher gibt es unendlich viele Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer 2

Hallo

du weisst dass man ru+sv+tw=0 nur mit r=s=t=0 lösen kann

daraus zeige ob es xa+yb+zc =0 nur mit x=y=z=0 lösen kann indem du es also v*(..)+u*(..)+w*(..) schreibst.

Gruß lul