Aufgabe:
Aufgabe 11.3: \( \operatorname{Im} \mathcal{R}^{3} \) sei die folgende Basis gegeben:
\( B=\left\{\mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, \mathbf{b}_{3}\right\}=\left\{(-1,4,2)^{T} ;(3,-1,1)^{T} ;(2,-1,1)^{T}\right\} \)
Das System \( B^{\prime}=\left\{\mathbf{b}_{1}^{\prime}, \mathbf{b}_{2}^{\prime}, \mathbf{b}_{3}^{\prime}\right\} \) bildet sich durch die Transformation \( \mathbf{b}_{i}^{\prime}=\sum \limits_{j=1}^{3} \tilde{t}_{j i} \mathbf{b}_{j} \) mit
\( \tilde{T}=\left(\tilde{t}_{i j}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right) \)
a) Zeigen Sie, dass \( B^{\prime} \) auch eine Basis des \( \mathcal{R}^{3} \) bildet.
b) Berechnen Sie die Transformation des Basiswechsels von \( B \) nach \( B^{\prime} \).
c) Finden Sie den Vektor \( \mathbf{v}=3 \mathbf{b}_{1}-4 \mathbf{b}_{2}+2 \mathbf{b}_{3} \) bzgl. \( B^{\prime} \) und der Standardbasis \( B_{0} \).
Ansatz/Problem:
ich habe mal eine Verständnisfrage zu Aufgabe b)
Ich habe die Basis B‘ berechnet.
Müsste dann nicht bei einem Basiswechsel von B nach B‘ die angegebene Transformationmatrix T wieder rauskommen?
