Annullatorraum linear abhängig

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum der Dimension 3, und seien a, b, c 2 V linear unabhängig.
(A) Wenn u, v verschiedene Elemente des Annullatorraumes von {a, b} sind, so
sind sie linear abhängig.
(B) Wenn u im Annullatorraum von {a, b} enthalten ist, v in jenem von {a, c},
und w in jenem von {b, c}, so ist {u, v,w} linear abhängig.
(C) Wenn u, v sowohl im Annullatorraum von {a, b} als auch in jenem von {b, c}
enthalten sind, so gilt u = v.

Problem/Ansatz:

Hallo, weiß jemand welche Antworten richtig sind und kann mir dazu auch eine Begründung geben. Vielen Dank

Comments

Wie sind bei euch Annullatoren definiert?
Handelt es sich um Linearformen, also um Elemente
des Dualraumes \(V^*\) ?

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Die Menge aller Linearformen, sodass <a*,x>=0

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a, b, c 2 V linear unabhängig.

Soll das eigentlich \(a,b,c\in V\) linear
unabhängig bedeuten?

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ja, sorry hab das übersehen

Answer 1

Da \(\dim(V)=3\) ist und \(a,b,c\) linear unabhängig sind,

bilden sie eine Basis. Sei \(B^*=(a^*,b^*,c^*)\) die zu \((a,b,c)\)

duale Basis.

Zu (A):

Sei \(u\in Ann(a,b)\). Da \(B^*\) eine Basis von \(V^*\) ist,

gibt es Skalare \(u_1,u_2,u_3\in K\) so, dass

\(u=u_1a^*+u_2b^*+u_3c^*\) ist.

Nun zeige, dass \(u_1=u_2=0\) gilt, so dass

der Annullatorraum von a,b nur aus den Vielfachen von \(c^*\)

besteht ...

Comments

Vielen Dank für die Antwort, ich glaube verstanden warum A) wahr ist. Nach der Folgerung müsste B) falsch sein, da sich u von c* darstellen lässt, v von b* und w von a*.

Zu C) u=u1c* und u=u1a*, v=v1c* und v=v1a*. aber ob die dann gleich sind bin ich mir nicht sicher

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Ja. (B) ist falsch:

nimm \(u=c^*, v=b^*, w=a^*\).

Zu (C):

wenn \(u=u_3c^*\) ist und zugleich \(u=u_1a^*\) ist,

dann muss \(u=0\) sein.

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also u =0 und v=0 und somit u=v. ALso C) richtig oder?

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Ja. So sehe ich das auch.