Berechne die Distanz von einem Punkt zu einer Gerade in R3

Question

Aufgabe:

Berechne in ℝ³ die Distanz zwischen dem Punkt (2,4,6) und der Geraden durch die Punkte (-1,2,1) und (5,4,1)

Problem/Ansatz:

(x,y,z) = (-1,2,1) + λ(3,1,0)

Wenn ich das System löse finde ich z =1 und x-y+7 = 0. Aber was nun?

Answer 1

Hallo,

du kannst die Entfernung mit einer Hilfsebene H berechnen, deren Normalenvektor der Richtungsvektor von g ist und die den Punkt P enthält.

\(H:\; 3x+y=a\)

Um a zu bestimmen, setzt du die Koordinaten von P ein.

Damit hat die Hilfsebene die Gleichung \(H:\; 3x+y=10\)

Bestimme den Schnittpunkt (= Lotfußpunkt) von g und H, indem du die Koordinaten von P in H einsetzt und zunächst r berechnest.

\(3(-1+3r)+2+r=10\\ r=1,1\)

In g eingesetzt ergibt das den Schnittpunkt \(S=\begin{pmatrix} 2,3\\3,1\\1 \end{pmatrix}\)

Jetzt berechnest du den Abstand zwischen P und S. Ich komme auf 5,09.

Gruß, Silvia

Comments

Hier mit Beispiel:

https://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/a/abstand-punkt-gerade-formel.html

Answer 2

Das ist eigentlich eine Aufgabe, die man standardmäßig mit dem Pythagoras löst unter Verwendung des Skalarproduktes.

Setze $$C(-1,2,1),\: D(5,4,1),\: P(2,4,6)$$Richtungsvektor der Geraden: \(r=D-C = (6,2,0)\)

Hypotenuse: \(c=|P-C| = |(3,2,5)|\)

Kathete (Projektion von c auf r): \(a=\left|\left(c\cdot \frac r{|r|}\right)\frac r{|r|}\right| = \frac{|c\cdot r|}{|r|}\)

Gesuchte Distanz per Pythagoras.

$$b^2 = c^2 -a^2 = |(3,2,5)|^2 - \frac{|(3,2,5)\cdot (6,2,0)|^2}{|(6,2,0)|^2} = \frac{259}{10}$$$$\Rightarrow b=\sqrt{25.9}\approx 5.09$$

Rechnung hier.

Probe hier.