Anzahl der Zahlen bis 999 mit der Quersumme 9

Question

wie kann ich ausrechnen, wie viele Zahlen im Bereich zwischen 1 und 999 die Zahl 9 als Quersumme haben?

Ich wäre dankbar für ein paar Denkanstöße.

Comments

Kann bei dir die Quersumme grösser gleich 10 sein oder nicht? Als Beispiel: Gilt für 999 27  oder 9 als Quersumme (--> 9+9+9=27=2+7=9) ? 

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es geht hoch bis 27, also q(n) = a+b+cb

Answer 1

Es gibt genau 55 solche Zahlen.

Wenn h die Hunderterziffer ist, dann gibt es jeweils genau 10-h Möglichkeiten:

Die Summe soll 9 ergeben, also wählt man erstmal die 100er Ziffer als h. Jetzt bleiben für die Zehnerziffer noch genau 9-(h-1)=10-h Möglichkeiten übrig, denn die Zehnerziffer muss zwischen 0 und 9-(h-1) liegen, damit es noch möglich ist, eine 9 zu erhalten. Wäht man z.B. h=4, dann gibt es für die Zehnerziffer noch die Möglichkeiten 1, 2, 3, 4, 5. Bei allen höheren Zahlen ist keine 9 als Quersumme mehr möglich.

Da man für h zwischen 0 und 9 wählen kann, müssen also insgesamt die folgenden Zahlen aufsummiert werden:

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 10+(9+1)+(8+2)+(7+3)+(6+4)+5 = 55

Answer 2

Die Quersumme soll 9 sein. Und sie soll dabei auf 3 Summanden aufgeteilt werden.

D.h. wir stellen uns 9 Steinchen vor und 2 Trenner.

324 = * * * | * * | * * * *

Die Frage ist viele Möglichkeiten gibt es die 9 Steinchen und die 2 Trenner hinzulegen.

Da es 11 Zeichen sind gibt es 11! Möglichkeiten sie hinzulegen. Da wir die Steinchen nicht unterscheiden können müssen wir durch 9! teilen. Da wir auch die Trenner nicht unterteilen können müssen wir nochmals durch 2! teilen.

11!/(9! * 2!) = 55

oder auch (3 + 9 - 1 über 9) = (11 über 9) = 55

Comments

Cooler Ansatz ;) Könntest du das nochmal näher erklären mit "Steinchen nicht unterscheiden können"?

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Stell dir nur vor, du hast 9 nicht voneinanderbar unterscheidbare Steine. Normalerweise könntest Du die Steinchen mit 9! Möglichkeiten anordnen. Nun kannst Du sie aber ja leider nicht unterscheiden. Also musst du durch die Anzahl Anordnungen teilen.

Aber der Ansatz ist nicht so neu. Den hat Lu auch schon benutzt:

https://www.mathelounge.de/9753/verteilung-piratenkapitane-beraten-anschaffung-ausrustung.

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Wie würde das z.B mit der Quersumme 19 funktionieren? Pro Stelle sind ja nur 9 Striche erlaubt.

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Bei Quersumme 19 sind es 45 Zahlen.

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Wie kommst du auf 45?

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Der Rechner hat 999 Quersummen q ausgerechnet und die Vorkommen von q = 1 bis 27 (bei 999) gezählt (die Funktion Length[ ] im Code):

(Die zweite Zeile dient der Kontrolle, ob tatsächlich Quersummen von 999 Zahlen ausgerechnet worden sind.)

Answer 3

Also von 1 bis 99 gibt es 9 Zahlen, die die Quersumme 9 haben, denn an der Stelle 1 sei eine Zahl 9-x und an der Stelle 2 x mit x < 9. Das gibt dann 9, 81, 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18 = 9 Zahlen zwischen 1 und 99 mit der Quersumme 9.

Comments

Ich tippe mal auf 27 bei 1-999 ;)

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Ich meinte 10 Zahlen wischen 1 bis 99. die 90 zählt natürlich auch noch

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mein Programm sagt 55 von 1 bis 999

 

        Dim x, y, z, n As Integer

        For x = 0 To 9
            For y = 0 To 9
                For z = 0 To 9
                    Dim sum As Integer = x + y + z
                    If sum = 9 Then
                        n += 1
                    End If

                Next
            Next
        Next
        MsgBox(n)

Answer 4

Für die ersten 100 Zahlen bin ich teilweise mit Thilo87 einverstanden, also mal 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 und 90. Hier fällt auf, dass es alles Zahlen der 9er-Reihe sind (Dies sind mal 10). Sie sind auch immer symmetrisch.

Und nun weiter zu den Zahlen zwischen 100 und 200: Hier nimmt man die Zahlen der ersten 100 Möglichkeiten (die oben), hängt eine 1 vorne hin und zieht diese 1 entweder bei den Zehnern oder Einern ab. 
Dies gibt die Zahlen 108 , 108, 117, 117, 126, 126, 135, 135, 144, 144, 153, 153, 162, 162, 171, 171, 180, 180. Dies sind nochmals 18 Möglichkeiten, jedoch alle doppelt, also total 9 Möglichkeiten.

Wir versuchen noch dasselbe für die Zahlen zwischen 200 und 300: 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270. Das sind 8 Möglichkeiten. 

Weiter geht es mit den Zahlen zwischen 300 und 400: 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360. Nun sind es gerade noch 7 Möglichkeiten.

Und nun kommt die Vermutung, dass es für jedes hundert das wir dazunehmen, 1 Möglichkeit weniger wird. Schlussendlich sind es also 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55 Möglichkeiten sind.

Zur Kontrolle schreibe ich die anderen auch noch auf:

 

400<>500	500<>600	600<>700	700<>800
405	504	603	702
414	513	612	711
423	522	621	720
432	531	630
441	540
450
6 Möglichkeiten	5 Möglichkeiten	4 Möglichkeiten	3 Möglichkeiten

800<>900	900<>1000
801	900
810
2 Möglichkeiten	1 Möglichkeit

Wie man sieht, hat sich die Vermutung bestätigt und total sind es 55 Möglichkeiten (-->10+9+8+...=10(10+1)/2=55)

 

Ich hoffe, ich konnte helfen und du verstehst es nun.

Simon

Answer 5

Ich gehe davon aus, dass die "einstellige" Quersumme gemeint ist. Beispiel: 999 hat zunächst die Quersumme 27 und dann hat 27 die einstellige Quersumme 9.

Unter dieser Voraussetzung haben genau die durch 9 teilbaren Zahlen die Quersumme 9. Nach der ersten durch 9 teilbaren Zahl ist jede Neunte ebenfalls durch 9 teilbar, es gibt also 111 Zahlen von 1 bis 999 mit der einstelligen Quersumme 9.

Comments

es geht hoch bis 27, also q(n) = a+b+cb

Annahmen treffen, die nichts mit der Aufgabe zu tun haben, ist schon sehr sinnvoll...