Beweis Quersumme von 99;999;.... gleich von 992;.....

Question

Aufgabe:

Beweise: Für alle Zahlen k mit k = 10ⁿ - 1 gilt für die Quersumme q: q(k) = q(k²).

Problem/Ansatz:

Wie beweist man sowas möglichst förmlich und geschickt. k² ist als Zahl immer 99....80...1 mit n-1 neunen und nullen.

Answer 1

Quersumme von

10¹ - 1 = 9 → 9
10² - 1 = 99 → 18
10³ - 1 = 999 → 27
10ⁿ - 1 --> 9*n

9² = 81
99² = 9801
999² = 998001
(10ⁿ - 1)² = 10ⁿ·(10ⁿ - 2) + 1 → 10ⁿ - 2 + 1 = 10ⁿ - 1 --> 9*n

Die Quersummen sind gleich.