Bestimme den Grad des Zerfällungskörpers

Question

Aufgabe: Bestimme den Grad des Zerfällungskörpers

Gegeben ist immer ein Polynom z.B. f=x^4+1 mit Q als Körper

Als erstes berechne ich immer die Nullstellen. Hier: \(-\sqrt{i},\sqrt{i},\sqrt{-i},-\sqrt{-i}\)

Nun habe ich also meinen Zerfällungskörper \(Q(-\sqrt{i},\sqrt{i},\sqrt{-i},-\sqrt{-i})\)

Ich versuche ein Schema bei all diesen Aufgaben zu erkennen um den Grad des Zerfällungskörpers zu bestimmen, leider verstehe ich nicht wie ich weiter machen muss um dies zu bestimmen.

Vielleicht kann mir jemand helfen und auch im Allgemeinen sagen wie ich meine Beweise weiter führen kann.

Danke im Voraus

Comments

\(\LaTeX\) in \( und \) einschließen damit es ordentlich gesetzt wird.

Answer 1

Die Wurzeln \(x\) von \(X^4+1=0\) erfüllen die Gleichung

\(x^8=(-1)^2=1\), sind also 8-te Einheitswurzeln.

Da die Einheitswurzeln eine multiplikatve zyklische

Gruppe bilden, muss man nur eine primitive Einheitswurzel

adjungieren, z.B. \(\alpha=(1+i)/\sqrt{2}\), und erhält so einen

Zerfällungskörper. Damit ist der Grad des Zerfällungskörpers = 4.

Answer 2

Adjungiere die Nullstellen nacheinander.

Prüfe für jede Nullstelle, ob sie nicht berits im vorhergehenden Erweiterungskörper vorhanden ist.

Zum Beispiel ist \(-\sqrt\mathrm{i}\notin \mathbb{Q}\), also \( \mathbb{Q}(-\sqrt\mathrm{i})\neq \mathbb{Q}\).

Allerdings ist \(\sqrt\mathrm{i}\) die Gegenzahl von \(-\sqrt\mathrm{i}\) und somit \(\sqrt\mathrm{i}\in \mathbb{Q}(-\sqrt\mathrm{i})\). Also ist \( \mathbb{Q}(-\sqrt\mathrm{i}, \sqrt\mathrm{i}) = \mathbb{Q}(-\sqrt\mathrm{i})\).

Comments

Was genau meinst du mit \(\sqrt{i}\) ?

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\(\frac{1}{\sqrt 2} + \frac{1}{\sqrt 2}\mathrm{i}\)

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Ah, alles klar. Danke!