Finde ein rationales, reduzibles Polynom

Question

Hallo, ich versuche gerade ein in ℚ[x] nicht irreduzibles Polynom vom Grad 4 zu finden, das die Nullstelle \( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \) hat.

Ich hab schon gefunden, dass \( x^{4} \) - 10\( x^{2} \) + 1 das Minimalpolynom von \( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \) ist, da bin ich so vorgegangen, dass ich x = \( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \) gesetzt habe, dann quadriert, dann umgeformt und wieder quadriert.

So ähnlich kann ich jetzt ja nicht vorgehen oder? Ein weiterer Ansatz war, vielleicht das Polynom in seine Linearfaktoren zerfallen zu lassen, und die Gleichung f(x) = (x- (\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \))(x - a)(x - b)(x - c) so zu lösen, dass ein Polynom in ℚ[x] rauskommt. Das wirkt aber sehr umständlich und funktioniert auch nur wenn eine der Nullstellen rational ist, und f geteilt durch diese Nullstelle wieder rational ist.

Bevor ich mich da aufhänge wollte ich fragen, ob mir wer helfen könnte. Danke im voraus :)

Comments

Verstehe ich dich richtig? Du suchst ein in \(\mathbb Q[x]\) reduzibles Polynom vom Grade 4, das \(\sqrt 2 + \sqrt 3\) als Nullstelle hat?

Wenn es das gäbe, wäre \(x^4-10x^2+1\) nicht das Minimalpolynom.

---

Genau richtig. Das suche ich.

Jetzt wo du das erwähnst macht das denke ich auch sin, das dieses polynom nicht existiert. Allerdings verstehe ich dann die Aufgabenstellung nicht richtig. Hier der genaue Wortlaut:

“Zeigen Sie, dass L ein Zerfällungkörper eines irreduziblen Polynoms p(x) ∈ Q[x] vom Grad 4 ist und finden Sie ein anderes reduzibles Polynom f (x) ∈ Q[x] vom Grad 4, so dass L auch ein Zerfällungskörper für f ist.“

---

Gilt \( \sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \) ?

---

Tut mir leid, das verstehe ich nicht.

ℚ(\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \)) sind doch die Zahlen

{a + b(\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \)) | a, b ∈ℚ}

Also ist \( \sqrt{2} \) kein Element (wenn ich das richtig verstehe)

---

Nein

ℚ(√2+√3)

ist nicht

{a+b(√2+√3) | a,b ∈ ℚ}

Körper sind auch abgeschlossen bzgl Multiplikation und Inversen. Du findest also auch Potenzen und das Inverse von √2+√3 im Körper

---

achso, das wusste ich nicht.

wären dann also alle wurzeln und linearkombinationen aus der form \( \sqrt{2^{a}3^{b}} \) mit a,b ∈ ℕ auch in ℚ(\( \sqrt{2}\) + \( \sqrt{3}\))?

allerdings verstehe ich auch noch nicht ganz wie das mit der frage hilft. wäre super wenn du mir da helfen könntest :)

---

Wenn √2 im Körper ist, dann auch √3

Also könnte man sich überlegen, ob

ℚ(√2+√3) = ℚ(√2, √3)

gilt. Mit diesem Wissen sollte man dann leicht das gesuchte weitere Polynom finden.

---

also gilt ℚ(\( \sqrt{2} \)) ⊂ ℚ(\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \) )

und ℚ(\( \sqrt{3} \)) ⊂ ℚ(\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \) ) und außerdem

ℚ(\( \sqrt{2} \)) ∪ ℚ(\( \sqrt{3} \)) = ℚ(\( \sqrt{2} \) , \( \sqrt{3} \) )

dann müsste ich nur noch zeigen, dass ℚ(\( \sqrt{2} \)) ∪ ℚ(\( \sqrt{3} \)) = ℚ(\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{3} \) ) oder?

mir wurde außerdem gesagt, dass die lösung

f(x) = \( (x - \sqrt{2})^{4} \) - 9 funktionieren würde als polynom in ℚ(\(\sqrt{2} \)), dass wäre ja aber nicht reduzibel oder?

tut mir leid wenn ich mich hier blöd anstelle, aber ich komme wirklich nicht weiter :(

---

ℚ(√2)∪ℚ(√3) = ℚ(√2, √3)

Das ist falsch, brauchst du aber auch nicht.

Du zeigst zuerst, dass √2 im Körper ℚ(√2+√3) liegt.

Dann liegt auch √3 drin, es folgt dann unmittelbar

ℚ(√2, √3) ⊆ ℚ(√2+√3) ⊆ ℚ(√2, √3)

Die zweite Inklusion ist trivial. Also folgt dann direkt

ℚ(√2+√3) = ℚ(√2, √3)

Jetzt suchst du noch ein reduzibles Polynom von Grad 4 in ℚ[x] dessen Zerfällungskörper ℚ(√2, √3) ist.

Dein genanntes Polynom liegt nicht einmal in ℚ[x]. Und zerfällt darüber hinaus auch nicht über ℚ(√2, √3)⊆ℝ, da es komplexe Nullstellen besitzt.

---

Jetzt suchst du noch ein reduzibles Polynom von Grad 4 in ℚ[x] dessen Zerfällungskörper ℚ(√2, √3) ist.

ahhh, danke für die hilfe, ich glaube ich habe das verstanden. ich nehme einfach

f(x) = (\( x^{2} \) - 2)(\( x^{2} \) - 3) = \( x^{4} \) - 5\( x^{2} \) +6,

das müsste ja den zerfällungskörper ℚ(√2, √3) haben.

ℚ(√2+√3) ⊆ ℚ(√2, √3)

warum diese richtung geht ist mir auch klar, aber das ist ja auch die einfache. wenn du mir noch einen ansatz für die andere richtung geben könntest wäre ich dir seh dankbar, habe sowas noch nie gemacht. eine definition der menge ℚ(√2+√3) würde schon viel helfen.

---

Berechne zB (√2 + √3)^(-1). Das ist ein Element von ℚ(√2+√3) dann schaue ob du mit dem Element und weiteren Elementen √2 oder √3 bauen kannst.

Answer 1

f(x)=\( x^{4} \)-20·\( \sqrt{6} \) - 49 hat zwei reelle Nullstellen, eine davon ist die gewünschte.

Comments

danke für die antwort, aber könntest du bitte genauer erklären warum das funktioniert? dieses f ist doch jetzt nicht mehr in ℚ[x]

---

Stimmt, das f ist nicht mehr in ℚ[x].