Aloha :)
Hier kannst du \((u=\sqrt x)\) mit \((\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt x})\) bzw. \((dx=2\sqrt x\,du)\) substituieren:$$I=\int\frac{1}{\sqrt x\cdot(1+x)}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt x\cdot(1+u^2)}\,2\sqrt{x}\,du=\int\frac{2}{1+u^2}\,du=2\arctan(\sqrt x)+C$$
Wenn du dir vor deinem geistigen Auge die \(\tan\)-Funktion im Intervall \((-\frac\pi2|\frac\pi2)\) vorstellst, weißt du, dass sie wegen \((\tan x=\frac{\sin x}{\cos x})\) für \((x\nearrow\frac\pi2)\) gegen \(\infty\) konvertiert. Daher ist:$$\int\limits_0^\infty\frac{1}{\sqrt x\cdot(1+x)}\,dx=2\lim\limits_{x\to\infty}\arctan(\sqrt x)-2\arctan(0)=2\cdot\frac\pi2-2\cdot0=\pi$$
