Uneigentliches Integral konvergent zeigen

Question

Aufgabe:

Benennen Sie die kritischen Punkte/Grenzen des Integrals und entscheiden Sie, ob dieses konvergent ist oder nicht.

\int\limits_{0}^{\1} \( \sqrt{x} \) \( (lnx)^{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich denke, der kritische Punkt ist 0, da ln für 0 nicht definiert ist. Ich bin mir auch sicher, dass das Integral konvergiert, da ich mir die Funktion geplottet habe.

Ansonsten bin ich überfordert, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. In der Übung haben wir immer mit Hilfe des Vergleichskriteriums gegen das Integral von \( \frac{1}{ x^{s} } \) abgeschätzt und wenn s kleiner 1 war, war das Integral konvergent.

Comments

Du kannst da Integral übrigens durch zweimalige partielle Integration direkt berechnen. Damit ist die Frage zur Konvergenz auch beantwortet.

Eine andere Variante ist, das Integral per Substitution \(x= e^{-t}\) zu verwandeln in

\(\int_0^{\infty}\frac{t^2}{e^{\frac 32 t}}dt\)

Dafür Konvergenz zu zeigen, ist ziemlich einfach.

Answer 1

Da du den Wert des Integrals anscheinend nicht berechnen sollst genügt es, das im Plot Gesehene zu beweisen:

Die Funktion geht bei Annäherung an die Stelle x=0 nicht gegen unendlich (sondern gegen 0).

Das macht man typischerweise mit L'Hospital.