Uneigentliches Integral zu Rotationsvolumen. f: x--> 1/x^2 rotiert um die x-Achse

Question

Also ich habe folgende Frage:

Ich habe folgende Funktion gegeben:   f:x → 1/x^2

a.) Wie berechne ich das uneigentliche Integral ∫1/x^2 dx     von 1 bis ∞

b.) Und das Volumen im Intervall von 1 bis +∞. Nachtrag: Die Funktion rotiert um die x-Achse.

Ich würde mich über eine ausführliche Beantwortung freuen damit ich es dann auch verstehe. Danke.

Comments

Wieso Volumen? Ist eine Rotation im Spiel? Sonst haben wir es wohl eher mit einer Fläche zu tun ;).

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Stimmt hatte ich vergessen zu erwähnen. Die Funktion rotiert um die x-Achse.

Answer 1

Zu a). Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x)=-\frac1x\). Daher gilt$$\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{t\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^t=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac1t+1\right)=1.$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Kannst du auch noch b.) erklären?

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Das Rotationsvolumen berechnet sich nach der Formel$$V=\pi\cdot\int_a^b\big(f(x)\big)^2dx.$$Es ist also$$V=\pi\cdot\int_1^\infty\frac{dx}{x^4}=\pi\cdot\lim_{t\to\infty}\left[-\frac1{3x^3}\right]_1^t=\pi\cdot\lim_{t\to\infty}\left(-\frac1{3t^3}+\frac13\right)=\frac\pi3.$$