Fläche rotiert um x-Achse. Rotationsvolumen?

Question

ich habe eine Aufgabe, mit der ich Schwierigkeiten habe.

Und zwar geht es um eine Funktion

f_k(x) = 1/k · e^-1/2·k·x

Jetzt gibt es zwei Geraden  s: x=1  und d: x=v ,  v ist größer als 1.

Diese Geraden, die x-Achse und der Graph der Funktion begrenzen eine Fläche, die um die x-Achse rotiert.

Man muss das Rotationsvolumen V(k,v) berechnen und  lim_{v →+∞}  V(k,v)

Bitte um Hilfe

Danke

Answer 1

Hallo

das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse ist

V=π ∫ f^2(x)dx, Integrationsgrenzen wie vorgegeben von x=1 bis v, 

wo ist da deine Schwierigkeit ?

warum sagst du flache, wenn du ein Volumen willst?

Gruß lul

Comments

Ich versteh es nicht, da wird gesagt V von k (v) und jetzt kommt es in der Formel V=pi integral f((x))^2 also soll ich an der stelle von x u einsetzen?

Sorry

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Hallo

 du rotierst doch die Kurve fk(x) die steht im Integral , das Volumen hängt dann von k und v ab,

in der Aufgabe steht sicher nicht wörtlich :"Man muss den Volumen V von k(v)" das sind deine Worte, was genau steht in der Aufgabe?

Gruß lul

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Also es steht “berechne das Volumen Vk(v) des entstehenden Drehkörpers”

Und k ist halt so klein geschrieben nur dass ich es mit meiner Tastatur nicht eingeben kann

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Hallo

 es bedeutet du sollst das Volumen berechnen,  und das ist von k abhängig, wie eben auch fk, und das Volumen hängt von V ab. das k unten heisst wie bei der Funktion, dass k ein Parameter ist,

 es gibt also kein k(v) sondern nur ein V(v) mit dem Parameter k

 also V_k(v) wie f_k(x) das ist ja auch nicht k(x)

Gruß lul

Answer 2

Hallo Fiona,

$$ f_k(x)=\frac{1}{k}·e^{-\frac{1}{2}·k·x}$$Gesucht ist das Rotationsvolumen der Fläche unter dem Graphen über dem Intervall [1 , v] um die x-Achse.

Dieses ist abhängig vom Parameter k und von der rechten Intervallgrenze v:$$V_{rot}(k,v) = π·\int\limits_{1}^{v} (f_k(x))^2dx=π·\int\limits_{1}^{v}\frac{e^{-k·x}}{k^2}dx=π·\left[-\frac{e^{-k·x}}{k^3}\right]_1^v$$$$\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }=\frac{π}{k^3}·(e^{-k}-e^{-k·v})$$Jetzt verschiebt man die rechte Intervallgrenze ins "Unendliche" nach rechts:$$ \lim\limits_{v\to\infty} V_{rot}(k,v) =\frac{π·e^{-k}}{k^3}$$Gruß Wolfgang