Nun, zunächst musst du die Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmen (es genügen die x-Koordinaten), denn das sind die Grenzen für die nachfolgende Integration. Also:
f ( x ) = g ( x )
<=> 0,5 x = - 2 x 2 + 4 x
<=> 2 x 2 - 3,5 x = 0
<=> x ( 2 x - 3,5 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden, also:
<=> x = 0 oder 2 x - 3,5 = 0
<=> x = 0 oder x = 1,75
Nun wendest du die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei bekannter "Randfunktion" an. Da g ( x ) innerhalb der berechneten Grenzen an allen Stellen x (bis auf die Schnittstellen) größer als f ( x ) ist, bestimmt g ( x ) die äußere Form des entstehenden Rotationskörpers. Von diesem ist das Volumen des "inneren" Körpers zu subtrahieren, dessen Randfunktion durch f ( x ) gegeben ist.
Die Formel für das Volumen V eines Rotationskörpers mit Randfunktion f ( x ) ist:
$$V=\pi \int _{ a }^{ b }{ { (f(x) ) }^{ 2 } }$$
Das in der Aufgabenstellung gesuchte Volumen V ist also:
$$V=\pi \int _{ a }^{ b }{ { (g(x)) }^{ 2 }dx } -\pi \int _{ a }^{ b }{ { (f(x)) }^{ 2 }dx } =\pi \int _{ a }^{ b }{ { (g(x)) }^{ 2 }-{ (f(x)) }^{ 2 }dx }$$
Konkrete Werte einsetzen:
$$V=\pi \int _{ 0 }^{ 1,75 }{ { (-2{ x }^{ ² }+4x) }^{ 2 }-{ (0,5x) }^{ 2 }dx }$$$$=\pi \int _{ 0 }^{ 1,75 }{ { 4{ x }^{ 4 }-16{ x }^{ 3 }+16x }^{ 2 }-{ 0,25x }^{ 2 }dx }$$$$=\pi \int _{ 0 }^{ 1,75 }{ { 4{ x }^{ 4 }-16{ x }^{ 3 }+15,75x }^{ 2 }dx }$$$$=\pi { \left[ \frac { 4 }{ 5 } { x }^{ 5 }-4{ x }^{ 4 }+5,25{ x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ 1,75 }$$$$=\pi \left( { \left[ \frac { 4 }{ 5 } { 1,75 }^{ 5 }-4{ *1,75 }^{ 4 }+5,25{ *1,75 }^{ 3 } \right] }-{ \left[ \frac { 4 }{ 5 } 0^{ 5 }-4*{ 0 }^{ 4 }+5,25*{ 0 }^{ 3 } \right] } \right)$$$$=\pi (3,7515625-0)$$$$=11,79$$
