Du musst die Symmetrie des Integrals um \(x=a\) ausnutzen.
Schritt 1:
\(f\) ist Dichte, also gilt \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\;dt = 1\)
Jetzt splitten wir auf und substituieren:
\(1= \underbrace{\int_{a}^{+\infty}f(t)\;dt}_{t=a+x} + \underbrace{\int_{-\infty}^{a}f(t)\;dt}_{t=a-x}\)
\(=\int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx + \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx\)
\(\stackrel{f(a-x)=f(a+x)}{=}2 \int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx = 2 \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx\)
Damit erhalten wir $$ \int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx = \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx = \frac 12$$
Schritt 2:
Wir splitten genauso auf:
\(E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)\;dt = \underbrace{\int_{a}^{+\infty}tf(t)\;dt}_{t=a+x} + \underbrace{\int_{-\infty}^{a}tf(t)\;dt}_{t=a-x} \)
\(= a {\color{green}{\int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx}} {\color{red}{+ \int_{0}^{+\infty}xf(a+x)\;dx}}\)
\( + a {\color{green}{\int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx } } {\color{red}{ - \int_{0}^{+\infty}xf(a-x)\;dx}}\)
\(= \frac a2 + \frac a2 = a\)
Denn, laut Voraussetzung gilt \({\color{red}{f(a+x)=f(a-x)}}\) und laut Schritt 1 gilt \({\color{green}{\int_{0}^{+\infty}f(a+x)\;dx = \int_{0}^{+\infty}f(a-x)\;dx = \frac 12 }}\).
Ergänzung zur Nachfrage:
Hier beispielhaft die Substitution für das zweite Integral \(\int_{-\infty}^{a}tf(t)\;dt\).
Substitution:
\( t = a-x,\; \frac{dt}{dx}=\color{blue}{-1}\)
Integralgrenzen:
\(t=a \mapsto \color{blue}{x=0}\)
\(t=-\infty \mapsto \color{blue}{x=+\infty}\)
Damit erhältst du
\(\int_{t=-\infty}^{a}tf(t)\;dt = {\color{blue}{-}}\int_{x=\color{blue}{+\infty}}^{\color{blue}{0}}(a-x)f(a-x)\;dx\)
\(=\int_{\color{blue}{0}}^{\color{blue}{+\infty}}(a-x)f(a-x)\;dx \)
\(= a\int_{{0}}^{{+\infty}}f(a-x)\;dx - \int_{{0}}^{{+\infty}}xf(a-x)\;dx\)
