Es werden N Personen einem Bluttest unterzogen. Die Personen
seien unabhängig voneinander jeweils mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) mit einem bestimmten
Erreger infiziert, der über den Bluttest sicher nachgewiesen werden kann. Der Test wird wie folgt durchgeführt: Die N = nk Personen werden in n Gruppen der Größe k aufgeteilt. In
jeder Gruppe wird zunächst das Blut von allen Gruppenmitgliedern zusammengeschüttet und gemeinsam getestet. Ist der Befund in einer Gruppe positiv, so werden alle Gruppenmitglieder
nochmals einzeln getestet. Es sei Xn,k die Gesamtzahl der benötigten Tests.
(a) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass E[Xn,k] = n + nk(1 − (1 − p)k) gilt.
(b) (1 Punkt) Bestimmen Sie für p = 0.01 und N = 10 000 die optimale Gruppengröße k, für die der Erwartungswert der Gesamtzahl der benötigten Tests minimal wird.
Problem: Ich weiß wie die Formel für den Erwartungswert zustande kommt, aber nicht wie ich diesen zeigen soll. Ich wäre für jeden konstruktiven Hinweis oder Ansatz dankbar
