Lineare Abhängigkeit von Vektoren (nicht quadratische Matrizen)

Question

Hallo zusammen,

Aufgabe:

Ich soll die folgenden Vektoren aus ℤ⁴₁₁ auf lineare Abhängigkeit untersuchen.

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\7\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\9\\5 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2\\3\\8\\8 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe das ganze in eine Matrix gepackt und bin mittels Umformungen auf folgendes gekommen:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2  \\ 0 & 1 & 3  \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Bei quadratischen Matrizen habe ich gelernt, dass pro entstehende Nullzeile die Dimension um eins sinkt und die Vektoren linear abhängig sind.

Wie ist das bei nicht quadratischen Matrizen zu verstehen? Wenn ursprünglich mehr Zeilen als Spalten oder andersherum vorliegen.

Könnte mir jemand bitte dieses Ergebnis in Hinblick auf die lineare Abhängigkeit interpretieren?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Der maximale Rang einer \(4\times3\)-Matrix ist 3.
Da deine Matrix nur den Rang 2 hat, sind die Spaltenvektoren
linear abhängig (Zeilenrang = Spaltenrang).

Comments

Vielen Dank.

Was ist der maximale Rang einer 3 x 4- Matrix?

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Der maximale Rang einer \(m\times n\)-Matrix ist \(\min(m,n)\).