Zeigen Sie, dass ker(L) ∩ im(L) = {0}.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Sei L : V → V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft L² := L ◦ L = L.

a) Zeigen Sie, dass ker(L) ∩ im(L) = {0}.

b) Folgern Sie: V = ker(L) ⊕ im(L).

Problem/Ansatz:

Vielen Dank für die Hilfe, Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Zu a)

Sei \(v\in \ker(L)\cap im(L)\). Dann gilt \(L(v)=0\)

und es gibt \(w\in V\) mit \(v=L(w)\), daher

\(0=L(v)=L(L(w))=L^2(w)=L(w)=v\).

Zu b)

Nutze \(id=(id-L)+L\) und a).