Bestimmen Sie die Dimension von ker (f) ∩ im (f).

Question

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei f: V→V eine K-lineare Abbildung mit ker (f) + im (f) = V.

a) Bestimmen Sie die Dimension von ker (f) ∩ im (f).

b) Zeigen Sie, dass V = ker (f) ⊕ im (f) eine innere direkte Summe ist.

ich würde mich sehr freuen, wenn jemand eine Idee hätte, wie diese Aufgaben anzugehen sind und mir seine Ideen mitteilen könnte!

Mit freundlichen Grüßen Aqua_Supera

Answer 1

a) Für die Summe von Untervektorräumen gilt die Dimensionsformel:

$$ \dim V = \dim( \ker f + \operatorname{im} f ) = \dim\ker f + \dim\operatorname{im} f - \dim( \ker f \cap \operatorname{im} f) $$

Für lineare Abbildungen der Rangssatz:

$$ \dim V = \dim \ker f + \dim \operatorname{im} f $$

Somit insgesamt:

$$ \dim \ker f + \dim \operatorname{im} f = \dim\ker f + \dim\operatorname{im} f - \dim( \ker f \cap \operatorname{im} f) \\ \implies \dim( \ker f \cap \operatorname{im} f) = 0$$

b) Hängt stark von eurer Charakterisierung der direkten Summe ab.